Encontre todos os pontos críticos de cada função, e então teste cada um para verificar se ele corresponde a um máximo relativo, mínimo relativo ou a um ponto de sela.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar todos os pontos críticos da função
e depois verificar se cada ponto é um máximo relativo, mínimo relativo ou um ponto de sela. Para isso, vamos usar cálculo de derivadas parciais e o teste da segunda derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a
e
. As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando variamos uma variável mantendo a outra constante.
Calculando a derivada parcial em relação a
:
E a derivada parcial em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos. Esses pontos ocorrem onde as derivadas parciais são iguais a zero.
Então, igualamos
e
a zero:
Portanto, o único ponto crítico é
.
Passo 4
Vamos usar o teste da segunda derivada para classificar esse ponto crítico. Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
O determinante da matriz Hessiana
é dado por:
Passo 5
Analisando o determinante
:
- Se
e , tem mínimo relativo. - Se
e , tem máximo relativo. - Se
, é um ponto de sela. - Se
, o teste é inconclusivo.
No nosso caso,
, então o ponto
é um ponto de sela.
Resposta
O único ponto crítico da função
é
, que é um ponto de sela.
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Encontre todos os pontos críticos de cada função, e então teste cada um para verificar se ele corresponde a um máximo relativo, mínimo relativo ou a um ponto de sela.
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Considere a função vetorial
, dada por
(b) Mostre que
, para toda curva contínua, fechada e simples
que circunde a origem do plano
Encontre todos os pontos críticos de cada função, e então teste cada um para verificar se ele corresponde a um máximo relativo, mínimo relativo ou a um ponto de sela.
Determine o ponto do plano
que está mais próximo do ponto
.