Encontre todos os pontos críticos de cada função, e então teste cada um para verificar se ele corresponde a um máximo relativo, mínimo relativo ou a um ponto de sela.
f(x, y) = x*y - x - y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar todos os pontos críticos da função e depois verificar se cada ponto é um máximo relativo, mínimo relativo ou um ponto de sela. Para isso, vamos usar cálculo de derivadas parciais e o teste da segunda derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e . As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando variamos uma variável mantendo a outra constante.
Calculando a derivada parcial em relação a :
E a derivada parcial em relação a :

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos. Esses pontos ocorrem onde as derivadas parciais são iguais a zero.
Então, igualamos e a zero:
Portanto, o único ponto crítico é .

Passo 4

Vamos usar o teste da segunda derivada para classificar esse ponto crítico. Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
O determinante da matriz Hessiana é dado por:

Passo 5

Analisando o determinante :
  • Se e , tem mínimo relativo.
  • Se e , tem máximo relativo.
  • Se , é um ponto de sela.
  • Se , o teste é inconclusivo.
No nosso caso, , então o ponto é um ponto de sela.

Resposta

O único ponto crítico da função é , que é um ponto de sela.

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Encontre todos os pontos críticos de cada função, e então teste cada um para verificar se ele corresponde a um máximo relativo, mínimo relativo ou a um ponto de sela.
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F(x, y)=-yx^2+y^2 i+xx^2+y^2 j
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