Resolver dy / dt = H(t - 1) + delta(t - 1) começando de y(0) = 0 : rampa e salto

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial com a condição inicial . Aqui, é a função de Heaviside, que é 0 para e 1 para , e é a função delta de Dirac, que é zero em todo lugar exceto em , onde ela “pula” para infinito de forma que sua integral é 1. Vamos precisar integrar essa equação para encontrar .

Passo 2

Primeiro, vamos integrar ambos os lados da equação diferencial em relação ao tempo :
A integral de em relação a simplesmente nos dá , então:
onde é a constante de integração.

Passo 3

Vamos resolver cada integral separadamente. Primeiro, a integral de :
A função é 0 para e 1 para . Portanto, a integral será:

Passo 4

Agora, vamos integrar :
Sabemos que a integral da função delta de Dirac é a função de Heaviside . Portanto:

Passo 5

Juntando as integrais, temos:
Simplificando:

Passo 6

Agora, aplicamos a condição inicial . Para , temos:
Então, .

Passo 7

Com , a solução fica:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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