Resolver
começando de
: rampa e salto
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
com a condição inicial
. Aqui,
é a função de Heaviside, que é 0 para
e 1 para
, e
é a função delta de Dirac, que é zero em todo lugar exceto em
, onde ela “pula” para infinito de forma que sua integral é 1. Vamos precisar integrar essa equação para encontrar
.
Passo 2
Primeiro, vamos integrar ambos os lados da equação diferencial em relação ao tempo
:
A integral de
em relação a
simplesmente nos dá
, então:
onde
é a constante de integração.
Passo 3
Vamos resolver cada integral separadamente. Primeiro, a integral de
:
A função
é 0 para
e 1 para
. Portanto, a integral será:
Passo 4
Agora, vamos integrar
:
Sabemos que a integral da função delta de Dirac
é a função de Heaviside
. Portanto:
Passo 5
Juntando as integrais, temos:
Simplificando:
Passo 6
Agora, aplicamos a condição inicial
. Para
, temos:
Então,
.
Passo 7
Com
, a solução fica:
Resposta
A solução da equação diferencial é: