Encontre y_n(t) e yp(t), com a função degrau de entrada começando em T=4
(a) y' - 5y = 3H(t - 4)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para encontrarmos duas partes da solução: e , onde a função de entrada é um degrau que começa em . A equação que temos é:
Aqui, é a função degrau de Heaviside que ativa a partir de . Para resolver isso, vamos precisar entender como resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem e como lidar com funções de degrau (impulsos). Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a parte homogênea da equação, que é aquela sem o termo da função de entrada. Ou seja, consideramos:
Essa é uma equação diferencial linear homogênea de primeira ordem. A solução geral dessa equação é a solução complementar .

Passo 3

Para resolver , a gente pode rearranjar a equação para isolar :
Isso é uma equação diferencial separável. A gente separa as variáveis e :
Integrando ambos os lados:
Onde é a constante de integração. Exponenciando ambos os lados para resolver :
Então, a solução homogênea é:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a solução particular para a equação completa:
Como temos um termo de entrada que é um degrau, usamos o método da função degrau de Heaviside. A ideia é encontrar uma solução que leve em conta que a entrada ativa em .

Passo 5

Assumimos que a solução particular pode ser uma função constante quando , já que depois desse ponto o degrau está ativo. Vamos propor:
Onde é uma constante que precisamos determinar.

Passo 6

Derivando :
Substituindo na equação original:
Resolvendo para :
Então, a solução particular é:

Passo 7

Agora, juntamos a solução homogênea e a solução particular para obter a solução geral da equação:

Resposta

A solução homogênea é e a solução particular, considerando o degrau a partir de , é .

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