Encontre
e
, com a função degrau de entrada começando em
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para encontrarmos duas partes da solução:
e
, onde a função de entrada é um degrau que começa em
. A equação que temos é:
Aqui,
é a função degrau de Heaviside que ativa a partir de
. Para resolver isso, vamos precisar entender como resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem e como lidar com funções de degrau (impulsos). Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a parte homogênea da equação, que é aquela sem o termo da função de entrada. Ou seja, consideramos:
Essa é uma equação diferencial linear homogênea de primeira ordem. A solução geral dessa equação é a solução complementar
.
Passo 3
Para resolver
, a gente pode rearranjar a equação para isolar
:
Isso é uma equação diferencial separável. A gente separa as variáveis
e
:
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração. Exponenciando ambos os lados para resolver
:
Então, a solução homogênea é:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a solução particular
para a equação completa:
Como temos um termo de entrada que é um degrau, usamos o método da função degrau de Heaviside. A ideia é encontrar uma solução que leve em conta que a entrada ativa em
.
Passo 5
Assumimos que a solução particular
pode ser uma função constante quando
, já que depois desse ponto o degrau está ativo. Vamos propor:
Onde
é uma constante que precisamos determinar.
Passo 6
Derivando
:
Substituindo na equação original:
Resolvendo para
:
Então, a solução particular é:
Passo 7
Agora, juntamos a solução homogênea
e a solução particular
para obter a solução geral da equação:
Resposta
A solução homogênea é
e a solução particular, considerando o degrau a partir de
, é
.