Considere a função vetorial dada pelo vetor posição r(t) = t i + t^2 j. Determine:
b) r'(0) e |r'(0)|. Interprete o significado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a derivada da função vetorial r(t) = t i + t^2 j no tempo t = 0, que é r'(0), e também o módulo dessa derivada, |r'(0)|. Vamos precisar entender um pouco de cálculo vetorial, especificamente como derivar uma função vetorial e o que o módulo dessa derivada representa.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a derivada da função vetorial vec(r)(t). A derivada de uma função vetorial é feita derivando cada componente em relação a t. Então:

Passo 3

Agora, vamos calcular r'(0) substituindo t por 0 na derivada que encontramos:

Passo 4

Em seguida, vamos calcular o módulo de r'(0), que é a magnitude desse vetor. O módulo de um vetor é dado por:
Aplicando isso em :

Resposta

e . Isso significa que, no instante t = 0, a velocidade do objeto está na direção do eixo x e sua velocidade é igual a 1 unidade por segundo.

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