A solução a y' = 2y + delta(t - 3) salta até 1 em t = 3. Antes e depois de t = 3 a função delta é zero e y cresce como e^(2 t). Disenhe o grafico de y(t) quando
(b) y(0) = 1. Escreva fórmulas para y(t) antes e depois de t = 3.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação diferencial com a condição inicial . O conteúdo envolvido aqui é equações diferenciais lineares com funções delta de Dirac. Para resolver, vamos precisar conhecer soluções de equações homogêneas e como a função delta afeta a solução no ponto .

Passo 2

Antes de , a função delta é zero. Então, a equação fica simples: . Essa é uma equação diferencial homogênea de primeira ordem cuja solução geral é , onde é uma constante.

Passo 3

Aplicando a condição inicial na solução geral antes de :
Então, para :

Passo 4

No instante , a função delta causa um salto na função . Esse salto é igual ao coeficiente multiplicado pela delta, que neste caso é 1. Portanto, salta em 1 quando .

Passo 5

Após , a função delta novamente é zero, então a equação volta a ser . A solução continuará na forma , mas agora precisamos considerar o salto ocorrido em .

Passo 6

O valor de logo após será igual ao valor logo antes de mais o salto de 1:
Então, para :

Resposta

As fórmulas para são:

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