A solução a
salta até 1 em
. Antes e depois de
a função delta é zero e
cresce como
. Disenhe o grafico de
quando
(b)
. Escreva fórmulas para
antes e depois de
.
(b)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação diferencial
com a condição inicial
. O conteúdo envolvido aqui é equações diferenciais lineares com funções delta de Dirac. Para resolver, vamos precisar conhecer soluções de equações homogêneas e como a função delta afeta a solução no ponto
.
Passo 2
Antes de
, a função delta
é zero. Então, a equação fica simples:
. Essa é uma equação diferencial homogênea de primeira ordem cuja solução geral é
, onde
é uma constante.
Passo 3
Aplicando a condição inicial
na solução geral antes de
:
Então, para
:
Passo 4
No instante
, a função delta
causa um salto na função
. Esse salto é igual ao coeficiente multiplicado pela delta, que neste caso é 1. Portanto,
salta em 1 quando
.
Passo 5
Após
, a função delta novamente é zero, então a equação volta a ser
. A solução continuará na forma
, mas agora precisamos considerar o salto ocorrido em
.
Passo 6
O valor de
logo após
será igual ao valor logo antes de
mais o salto de 1:
Então, para
:
Resposta
As fórmulas para
são: