Escreva em função de x e y (ou z) a integral de linha
c) integralC F d r, onde F(x, y, z)=x i+(1-y) j+z^2 k.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para escrever a integral de linha onde , em função de e (ou ). Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma integral de linha, como parametrizar a curva e como substituir na fórmula da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre a integral de linha. Ela basicamente soma a contribuição do campo vetorial ao longo de uma curva . Para calcular isso, precisamos parametrizar a curva, ou seja, expressar as coordenadas , e em função de um parâmetro, geralmente .

Passo 3

Vamos supor que a curva x = x(t), y = y(t), z = z(t) seja parametrizada por dr = dxdt,i + dydt,j + dzdt,k , dt , onde varia de a . Então, as coordenadas ficam:
Com isso, o vetor diferencial fica:

Passo 4

Agora, substituímos integralC F , dr = integrala^b [ x(t),i + (1 - y(t)),j + z(t)^2,k ] cdot [ dxdt,i + dydt,j + dzdt,k ] dt e na integral de linha:
O ponto representa o produto escalar entre os vetores.

Passo 5

Calculando o produto escalar, temos:
F cdot dr = x(t) dxdt + (1 - y(t)) dydt + z(t)^2 dzdt
Então, a integral fica:
integrala^b [ x(t) dxdt + (1 - y(t)) dydt + z(t)^2 dzdt ] dt

Passo 6

Se preferir expressar em função de e ou , depende de como a curva está definida. Por exemplo, se é função de e , podemos reescrever em termos de e . Sem uma parametrização específica, essa é a forma geral da integral.

Resposta

A integral de linha integrala^b [ x(t) dxdt + (1 - y(t)) dydt + z(t)^2 dzdt ] dt em função de e (ou ) é dada por:

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