Resolva a equação diferencial (descrevendo os passos necessários para obter a solução analítica)
Plote algumas soluções juntamente com o campo de direções.
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para resolvermos a seguinte equação diferencial:
Esse problema faz parte do estudo de Equações Diferenciais Ordinárias, especificamente das equações separáveis. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis
e
e integrar ambos os lados da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação é separável, ou seja, se conseguimos escrever
.
A equação dada é:
Podemos multiplicar ambos os lados por
para separar as variáveis:
Agora, as variáveis
e
estão em lados opostos da equação, prontos para serem integrados.
Passo 3
Vamos integrar ambos os lados da equação separada:
Isso vai nos ajudar a encontrar a solução geral da equação diferencial.
Passo 4
Vamos calcular a integral do lado esquerdo:
E a integral do lado direito:
Passo 5
Agora, igualamos as integrais dos dois lados:
Podemos combinar as constantes de integração, já que
é uma constante qualquer que podemos chamar de
.
Passo 6
Assim, a solução geral da equação diferencial fica:
Para deixar mais organizado, podemos reescrever:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: