Resolva a equação diferencial (descrevendo os passos necessários para obter a solução analítica)
d y/d x = (x - e^(-x)) / (y + e^(y))
Plote algumas soluções juntamente com o campo de direções.

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para resolvermos a seguinte equação diferencial:
Esse problema faz parte do estudo de Equações Diferenciais Ordinárias, especificamente das equações separáveis. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis e e integrar ambos os lados da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação é separável, ou seja, se conseguimos escrever .
A equação dada é:
Podemos multiplicar ambos os lados por para separar as variáveis:
Agora, as variáveis e estão em lados opostos da equação, prontos para serem integrados.

Passo 3

Vamos integrar ambos os lados da equação separada:
Isso vai nos ajudar a encontrar a solução geral da equação diferencial.

Passo 4

Vamos calcular a integral do lado esquerdo:
E a integral do lado direito:

Passo 5

Agora, igualamos as integrais dos dois lados:
Podemos combinar as constantes de integração, já que é uma constante qualquer que podemos chamar de .

Passo 6

Assim, a solução geral da equação diferencial fica:
Para deixar mais organizado, podemos reescrever:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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