Para o problema de valor inicial
(sen t) y' + (cos t) y = e^t, y(1) = a, 0 < t < pi
Desenhe um campo de direções e descreva como parece que as soluções se comportam quando t -> 0 ? O comportamento depende da escolha do valor inicial a ? Seja a0 o valor crítico de a, ou seja, o valor inicial tal que as soluções para a < a0 e as soluções para a > a0 têm comportamentos diferentes quando t -> infinito. Estime o valor de a0.

Passo 1

Vamos resolver o problema de valor inicial dado por:
Nesse exercício, trabalharemos com equações diferenciais lineares de primeira ordem. Precisaremos entender como desenhar campos de direções e analisar o comportamento das soluções quando e . Além disso, vamos investigar como o valor inicial influencia o comportamento das soluções e encontrar um valor crítico que separa diferentes comportamentos das soluções no infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de uma forma mais familiar. Dividindo ambos os lados por , temos:
Essa é uma equação linear de primeira ordem da forma , onde:
Para resolver esse tipo de equação, usamos um fator integrante , que é dado por:

Passo 3

Calculando o fator integrante :
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Simplificando:
Observamos que o lado esquerdo da equação é a derivada do produto :

Passo 4

Integrando ambos os lados em relação a :
Isso resulta em:
Onde é a constante de integração.
Agora, isolamos :

Passo 5

Aplicamos a condição inicial para encontrar a constante :
Resolvendo para :

Passo 6

Substituindo na expressão geral da solução:
Podemos simplificar isso para:

Passo 7

Agora, vamos analisar o comportamento das soluções quando . Note que se aproxima de 0 quando se aproxima de 0, o que sugere que a solução pode tender ao infinito ou a algum valor específico dependendo do numerador.
Observando a expressão de , tanto o termo quanto são finitos, mas tende a 0. Portanto, tende a infinito de acordo com o sinal de .

Passo 8

Quanto à dependência do comportamento em relação ao valor inicial , vemos que a constante aparece multiplicando um termo que também tende a infinito quando . Isso indica que o valor inicial influencia a direção e a intensidade do infinito que alcança conforme se aproxima de 0.

Passo 9

Para encontrar o valor crítico que separa comportamentos diferentes quando , analisamos o limite de quando :
Pela natureza das funções envolvidas, cresce exponencialmente enquanto oscila entre -1 e 1. Assim, o termo domina o comportamento da solução para grandes .
Para que as soluções tenham comportamentos diferentes, o valor de deve balancear a contribuição do termo constante de forma a alterar a direção do crescimento.
Estima-se que o valor crítico seja aquele que anula a constante não associada a :

Resposta

O valor crítico é aproximadamente:

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