Para o problema de valor inicial
Desenhe um campo de direções e descreva como parece que as soluções se comportam quando
? O comportamento depende da escolha do valor inicial
? Seja
o valor crítico de
, ou seja, o valor inicial tal que as soluções para
e as soluções para
têm comportamentos diferentes quando
. Estime o valor de
.
Passo 1
Vamos resolver o problema de valor inicial dado por:
Nesse exercício, trabalharemos com equações diferenciais lineares de primeira ordem. Precisaremos entender como desenhar campos de direções e analisar o comportamento das soluções quando
e
. Além disso, vamos investigar como o valor inicial
influencia o comportamento das soluções e encontrar um valor crítico
que separa diferentes comportamentos das soluções no infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de uma forma mais familiar. Dividindo ambos os lados por
, temos:
Essa é uma equação linear de primeira ordem da forma
, onde:
Para resolver esse tipo de equação, usamos um fator integrante
, que é dado por:
Passo 3
Calculando o fator integrante
:
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Simplificando:
Observamos que o lado esquerdo da equação é a derivada do produto
:
Passo 4
Integrando ambos os lados em relação a
:
Isso resulta em:
Onde
é a constante de integração.
Agora, isolamos
:
Passo 5
Aplicamos a condição inicial
para encontrar a constante
:
Resolvendo para
:
Passo 6
Substituindo
na expressão geral da solução:
Podemos simplificar isso para:
Passo 7
Agora, vamos analisar o comportamento das soluções quando
. Note que
se aproxima de 0 quando
se aproxima de 0, o que sugere que a solução pode tender ao infinito ou a algum valor específico dependendo do numerador.
Observando a expressão de
, tanto o termo
quanto
são finitos, mas
tende a 0. Portanto,
tende a infinito de acordo com o sinal de
.
Passo 8
Quanto à dependência do comportamento em relação ao valor inicial
, vemos que a constante
aparece multiplicando um termo que também tende a infinito quando
. Isso indica que o valor inicial
influencia a direção e a intensidade do infinito que
alcança conforme
se aproxima de 0.
Passo 9
Para encontrar o valor crítico
que separa comportamentos diferentes quando
, analisamos o limite de
quando
:
Pela natureza das funções envolvidas,
cresce exponencialmente enquanto
oscila entre -1 e 1. Assim, o termo
domina o comportamento da solução para grandes
.
Para que as soluções tenham comportamentos diferentes, o valor de
deve balancear a contribuição do termo constante de forma a alterar a direção do crescimento.
Estima-se que o valor crítico
seja aquele que anula a constante não associada a
:
Resposta
O valor crítico é aproximadamente: