Considere a função
, em que
. Determine a derivada
desta função.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que nos pede para encontrar a derivada
da função definida implicitamente por:
Matéria envolvida: Diferenciação Implícita.
O que vamos precisar: Conhecimentos básicos de derivadas, especialmente a técnica de diferenciação implícita, onde tratamos
como uma função de
.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a diferenciação:
Passo 3
Agora, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
. Lembre-se que
é uma função de
, então sempre que derivarmos termos que envolvem
, precisaremos usar a regra da cadeia.
Passo 4
Vamos derivar cada termo separadamente:
-
-
- Aqui usamos a regra do produto:
- Aqui usamos a regra do produto:
-
-
- Novamente, aplicamos a regra do produto e a derivada da função seno.
-
-
Passo 5
Juntando todas as derivadas:
Passo 6
Vamos expandir e organizar os termos:
Passo 7
Agora, vamos agrupar os termos que contêm
e os que não contêm:
Passo 8
Isolando
:
Passo 9
Finalmente, resolvendo para
:
Resposta
A derivada
da função é:
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é solução da equação diferencial
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