Considere a função x^3 - 3 x^2 y^4 + 4 y^3 - x * sen(y) = 4 x + 1, em que y = y(x). Determine a derivada d/y d/x desta função.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que nos pede para encontrar a derivada da função definida implicitamente por:
Matéria envolvida: Diferenciação Implícita.
O que vamos precisar: Conhecimentos básicos de derivadas, especialmente a técnica de diferenciação implícita, onde tratamos y como uma função de x.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a diferenciação:

Passo 3

Agora, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a x. Lembre-se que y é uma função de x, então sempre que derivarmos termos que envolvem y, precisaremos usar a regra da cadeia.

Passo 4

Vamos derivar cada termo separadamente:
    • Aqui usamos a regra do produto:
    • Novamente, aplicamos a regra do produto e a derivada da função seno.

Passo 5

Juntando todas as derivadas:

Passo 6

Vamos expandir e organizar os termos:

Passo 7

Agora, vamos agrupar os termos que contêm e os que não contêm:

Passo 8

Isolando :

Passo 9

Finalmente, resolvendo para :

Resposta

A derivada da função é:

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