Resolva o problema de valor inicial

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial:
com a condição inicial . O conteúdo que vamos usar aqui é Equações Diferenciais Lineares de Primeira Ordem. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar um fator integrante que facilite a solução da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear. A equação dada é:
Dividindo todos os termos por , ficamos com:
Agora está na forma:
onde e .

Passo 3

Vamos encontrar o fator integrante . O fator integrante para uma equação linear é dado por:
Calculando a integral de :
Aqui, fazemos uma substituição simples: deixe , então . Assim, a integral se torna:
Portanto, o fator integrante é:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :
Simplificando, temos:
Observe que o lado esquerdo agora é a derivada de :

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a :
Isso nos dá:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, resolvemos para :

Passo 7

Aplicamos a condição inicial para encontrar :

Resposta

A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:

Exercícios relacionados

Resolva o problema de valor inicial
ã
Verificar se a função é solução da equação diferencial .
Considere a função , em que . Determine a derivada desta função.