Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial:
com a condição inicial . O conteúdo que vamos usar aqui é Equações Diferenciais Lineares de Primeira Ordem. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar um fator integrante que facilite a solução da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear. A equação dada é:
Dividindo todos os termos por , ficamos com:
Agora está na forma:
onde e .
Passo 3
Vamos encontrar o fator integrante . O fator integrante para uma equação linear é dado por:
Calculando a integral de :
Aqui, fazemos uma substituição simples: deixe , então . Assim, a integral se torna:
Portanto, o fator integrante é:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :
Simplificando, temos:
Observe que o lado esquerdo agora é a derivada de :
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a :
Isso nos dá:
onde é a constante de integração.
Passo 6
Agora, resolvemos para :
Passo 7
Aplicamos a condição inicial para encontrar :
Resposta
A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é: