Resolva o problema de valor inicial
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial:
com a condição inicial
. O conteúdo que vamos usar aqui é Equações Diferenciais Lineares de Primeira Ordem. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar um fator integrante que facilite a solução da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear. A equação dada é:
Dividindo todos os termos por
, ficamos com:
Agora está na forma:
onde
e
.
Passo 3
Vamos encontrar o fator integrante
. O fator integrante para uma equação linear é dado por:
Calculando a integral de
:
Aqui, fazemos uma substituição simples: deixe
, então
. Assim, a integral se torna:
Portanto, o fator integrante é:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
Simplificando, temos:
Observe que o lado esquerdo agora é a derivada de
:
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a
:
Isso nos dá:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, resolvemos para
:
Passo 7
Aplicamos a condição inicial
para encontrar
:
Resposta
A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é: