Resolva o problema de valor inicial
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial. O enunciado é:
, com a condição inicial
. Vamos usar conceitos de equações diferenciais exatas para encontrar a solução. Precisamos identificar se a equação é exata e, se for, encontrar a função solução que satisfaz a condição inicial.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial da forma
é exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
.
Aqui, temos:
Calculando as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Agora que sabemos que a equação é exata, vamos encontrar a função potencial
tal que:
Começamos integrando
em relação a
:
Aqui,
é uma função apenas de
que aparece na integração.
Passo 4
Em seguida, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Simplificando:
Integrando em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Substituímos
na função
:
Como
é constante ao longo das soluções da equação diferencial, podemos escrever:
Ou, fatorando
:
Passo 6
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar o valor de
:
Resposta
A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:
Exercícios relacionados
Considere a função
, em que
. Determine a derivada
desta função.
Verificar se a função
é solução da equação diferencial
.
Verificar se a função
é solução da equação diferencial
.
Resolva o problema de valor inicial