Resolva o problema de valor inicial

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial. O enunciado é: , com a condição inicial . Vamos usar conceitos de equações diferenciais exatas para encontrar a solução. Precisamos identificar se a equação é exata e, se for, encontrar a função solução que satisfaz a condição inicial.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial da forma é exata se a derivada parcial de em relação a for igual à derivada parcial de em relação a .
Aqui, temos:
Calculando as derivadas parciais:
Como , a equação é exata.

Passo 3

Agora que sabemos que a equação é exata, vamos encontrar a função potencial tal que:
Começamos integrando em relação a :
Aqui, é uma função apenas de que aparece na integração.

Passo 4

Em seguida, derivamos em relação a e igualamos a :
Simplificando:
Integrando em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Substituímos na função :
Como é constante ao longo das soluções da equação diferencial, podemos escrever:
Ou, fatorando :

Passo 6

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar o valor de :

Resposta

A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:

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Considere a função , em que . Determine a derivada desta função.
Verificar se a função é solução da equação diferencial .
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