Considere a função .
Aplique o Método de Newton, a partir da solução , até obter um erro de iteração inferior a , ou no máximo, 2 iterações.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para aplicar o Método de Newton na função . Nosso objetivo é encontrar uma aproximação da raiz dessa função, começando com uma primeira estimativa . Vamos continuar iterando até que o erro entre duas aproximações consecutivas seja menor que ou até no máximo realizar 2 iterações.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Método de Newton. Esse método é uma técnica para encontrar raízes de uma função . A fórmula para atualizar a estimativa da raiz é:
Onde:
  • é a estimativa atual,
  • é o valor da função na estimativa atual,
  • é a derivada da função na estimativa atual.
Para aplicar o método, precisamos da derivada da função .

Passo 3

Vamos encontrar a derivada de :
Derivando termo a termo:
Agora que temos e , podemos começar a aplicar o Método de Newton.

Passo 4

Primeira Iteração ( ):
Usamos a estimativa inicial .
Calculamos :
Calculamos :
Atualizamos a estimativa para :
Calculamos o erro desta iteração:
Como , precisamos fazer mais uma iteração.

Passo 5

Segunda Iteração ( ):
Agora, usamos a nova estimativa .
Calculamos :
Calculamos :
Atualizamos a estimativa para :
Calculamos o erro desta iteração:
Como e já realizamos 2 iterações, terminamos o processo.

Resposta

Aproximação da raiz após 2 iterações do Método de Newton é .

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Considere a função .
Prove que existe uma única raiz de no intervalo .
Considere o sistema de equações lineares:
Fala duas iterações do método de Gauss-Seidel.
Mostre, calculando limites ao longo de curvas, que para as seguintes funções não existe o limite na origem:
Mostre, calculando limites ao longo de curvas, que para as seguintes funções não existe o limite na origem: