Considere a função .
Aplique o Método de Newton, a partir da solução , até obter um erro de iteração inferior a , ou no máximo, 2 iterações.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para aplicar o Método de Newton na função . Nosso objetivo é encontrar uma aproximação da raiz dessa função, começando com uma primeira estimativa . Vamos continuar iterando até que o erro entre duas aproximações consecutivas seja menor que ou até no máximo realizar 2 iterações.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Método de Newton. Esse método é uma técnica para encontrar raízes de uma função . A fórmula para atualizar a estimativa da raiz é:
Onde:
é a estimativa atual,
é o valor da função na estimativa atual,
é a derivada da função na estimativa atual.
Para aplicar o método, precisamos da derivada da função .
Passo 3
Vamos encontrar a derivada de :
Derivando termo a termo:
Agora que temos e , podemos começar a aplicar o Método de Newton.
Passo 4
Primeira Iteração ():
Usamos a estimativa inicial .
Calculamos :
Calculamos :
Atualizamos a estimativa para :
Calculamos o erro desta iteração:
Como , precisamos fazer mais uma iteração.
Passo 5
Segunda Iteração ():
Agora, usamos a nova estimativa .
Calculamos :
Calculamos :
Atualizamos a estimativa para :
Calculamos o erro desta iteração:
Como e já realizamos 2 iterações, terminamos o processo.
Resposta
Aproximação da raiz após 2 iterações do Método de Newton é .