Considere a função
.
Aplique o Método de Newton, a partir da solução
, até obter um erro de iteração
inferior a
, ou no máximo, 2 iterações.
Aplique o Método de Newton, a partir da solução
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para aplicar o Método de Newton na função
. Nosso objetivo é encontrar uma aproximação da raiz dessa função, começando com uma primeira estimativa
. Vamos continuar iterando até que o erro entre duas aproximações consecutivas seja menor que
ou até no máximo realizar 2 iterações.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Método de Newton. Esse método é uma técnica para encontrar raízes de uma função
. A fórmula para atualizar a estimativa da raiz é:
Onde:
-
é a estimativa atual, -
é o valor da função na estimativa atual, -
é a derivada da função na estimativa atual.
Para aplicar o método, precisamos da derivada da função
.
Passo 3
Vamos encontrar a derivada de
:
Derivando termo a termo:
Agora que temos
e
, podemos começar a aplicar o Método de Newton.
Passo 4
Primeira Iteração (
):
Usamos a estimativa inicial
.
Calculamos
:
Calculamos
:
Atualizamos a estimativa para
:
Calculamos o erro desta iteração:
Como
, precisamos fazer mais uma iteração.
Passo 5
Segunda Iteração (
):
Agora, usamos a nova estimativa
.
Calculamos
:
Calculamos
:
Atualizamos a estimativa para
:
Calculamos o erro desta iteração:
Como
e já realizamos 2 iterações, terminamos o processo.
Resposta
Aproximação da raiz após 2 iterações do Método de Newton é
.