Mostre, calculando limites ao longo de curvas, que para as seguintes funções não existe o limite na origem:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede pra mostrar que o limite da função
na origem (0,0) não existe. A matéria envolvida aqui é cálculo de limites em funções de duas variáveis, e para resolver isso, vamos calcular os limites ao longo de diferentes curvas que se aproximam da origem.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar o caminho onde
. Substituindo na função:
Então, quando nos aproximamos da origem pelo eixo
(onde
), o limite é 0.
Passo 3
Agora, vamos olhar para o caminho onde
. Substituindo na função:
Assim, ao nos aproximarmos pela linha
(onde
), o limite é 1.
Passo 4
Observamos que os limites calculados ao longo de diferentes caminhos são diferentes: 0 pelo eixo
e 1 pelo eixo
. Isso significa que o limite da função
na origem depende do caminho que escolhemos para nos aproximar.
Passo 5
Quando o limite de uma função em duas variáveis depende do caminho de aproximação, concluímos que o limite não existe na origem.
Resposta
Portanto, o limite de
na origem (0,0) não existe.
Exercícios relacionados
Considere a função
.
Aplique o Método de Newton, a partir da solução , até obter um erro de iteração
inferior a
, ou no máximo, 2 iterações.
Aplique o Método de Newton, a partir da solução
Considere a função
.
Prove que existe uma única raiz de no intervalo
.
Prove que existe uma única raiz de
Mostre, calculando limites ao longo de curvas, que para as seguintes funções não existe o limite na origem:
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