Mostre, calculando limites ao longo de curvas, que para as seguintes funções não existe o limite na origem:
f(x, y) = y^4 / (x^2 + y^4)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede pra mostrar que o limite da função na origem (0,0) não existe. A matéria envolvida aqui é cálculo de limites em funções de duas variáveis, e para resolver isso, vamos calcular os limites ao longo de diferentes curvas que se aproximam da origem.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar o caminho onde . Substituindo na função:
Então, quando nos aproximamos da origem pelo eixo (onde ), o limite é 0.

Passo 3

Agora, vamos olhar para o caminho onde . Substituindo na função:
Assim, ao nos aproximarmos pela linha (onde ), o limite é 1.

Passo 4

Observamos que os limites calculados ao longo de diferentes caminhos são diferentes: 0 pelo eixo e 1 pelo eixo . Isso significa que o limite da função na origem depende do caminho que escolhemos para nos aproximar.

Passo 5

Quando o limite de uma função em duas variáveis depende do caminho de aproximação, concluímos que o limite não existe na origem.

Resposta

Portanto, o limite de na origem (0,0) não existe.

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