Considere a função
.
Prove que existe uma única raiz de
no intervalo
.
Prove que existe uma única raiz de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que a função
tem exatamente uma raiz no intervalo
. A gente vai usar conceitos de continuidade e propriedades das funções para chegar nessa conclusão.
Passo 2
Primeiro, precisamos verificar se a função
é contínua no intervalo
. A função exponencial
e a função logarítmica
são contínuas em todos os seus domínios. Como
está entre 0.5 e 1,
está bem definida. Portanto,
é contínua nesse intervalo.
Passo 3
Agora, vamos calcular os valores de
nas extremidades do intervalo para ver se ocorre uma mudança de sinal.
Para
:
Para
:
Vemos que
é negativo e
é positivo. Ou seja, a função muda de sinal no intervalo.
Passo 4
De acordo com o Teorema de Bolzano, se uma função é contínua em um intervalo e troca de sinal nas extremidades, então ela tem pelo menos uma raiz nesse intervalo. Como
é contínua em
e muda de sinal, existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.
Passo 5
Para garantir que essa raiz seja única, vamos analisar a derivada da função:
Como
é sempre positivo e
também é positivo no intervalo
, a derivada
é sempre positiva nesse intervalo. Isso significa que
é uma função estritamente crescente ali.
Uma função estritamente crescente pode cruzar o eixo y apenas uma vez no intervalo, o que garante que há exatamente uma raiz.
Resposta
Portanto, a função
possui exatamente uma raiz no intervalo
.