Considere a função .
Prove que existe uma única raiz de no intervalo .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que a função tem exatamente uma raiz no intervalo . A gente vai usar conceitos de continuidade e propriedades das funções para chegar nessa conclusão.
Passo 2
Primeiro, precisamos verificar se a função é contínua no intervalo . A função exponencial e a função logarítmica são contínuas em todos os seus domínios. Como está entre 0.5 e 1, está bem definida. Portanto, é contínua nesse intervalo.
Passo 3
Agora, vamos calcular os valores de nas extremidades do intervalo para ver se ocorre uma mudança de sinal.
Para :
Para :
Vemos que é negativo e é positivo. Ou seja, a função muda de sinal no intervalo.
Passo 4
De acordo com o Teorema de Bolzano, se uma função é contínua em um intervalo e troca de sinal nas extremidades, então ela tem pelo menos uma raiz nesse intervalo. Como é contínua em e muda de sinal, existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.
Passo 5
Para garantir que essa raiz seja única, vamos analisar a derivada da função:
Como é sempre positivo e também é positivo no intervalo , a derivada é sempre positiva nesse intervalo. Isso significa que é uma função estritamente crescente ali.
Uma função estritamente crescente pode cruzar o eixo y apenas uma vez no intervalo, o que garante que há exatamente uma raiz.
Resposta
Portanto, a função possui exatamente uma raiz no intervalo .