Considere a função .
Prove que existe uma única raiz de no intervalo .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que a função tem exatamente uma raiz no intervalo . A gente vai usar conceitos de continuidade e propriedades das funções para chegar nessa conclusão.

Passo 2

Primeiro, precisamos verificar se a função é contínua no intervalo . A função exponencial e a função logarítmica são contínuas em todos os seus domínios. Como está entre 0.5 e 1, está bem definida. Portanto, é contínua nesse intervalo.

Passo 3

Agora, vamos calcular os valores de nas extremidades do intervalo para ver se ocorre uma mudança de sinal.
Para :
Para :
Vemos que é negativo e é positivo. Ou seja, a função muda de sinal no intervalo.

Passo 4

De acordo com o Teorema de Bolzano, se uma função é contínua em um intervalo e troca de sinal nas extremidades, então ela tem pelo menos uma raiz nesse intervalo. Como é contínua em e muda de sinal, existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.

Passo 5

Para garantir que essa raiz seja única, vamos analisar a derivada da função:
Como é sempre positivo e também é positivo no intervalo , a derivada é sempre positiva nesse intervalo. Isso significa que é uma função estritamente crescente ali.
Uma função estritamente crescente pode cruzar o eixo y apenas uma vez no intervalo, o que garante que há exatamente uma raiz.

Resposta

Portanto, a função possui exatamente uma raiz no intervalo .

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