Considere o sistema de equações lineares:
[ccc 1 & 1 & 0 1 & 5 & 0 0 & -6 & 1 ][l x1 x2 x3 ]=[c 1 5 -5 ]
Fala duas iterações do método de Gauss-Seidel.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares usando o método de Gauss-Seidel. Basicamente, a gente tem três equações com três incógnitas ( x1, x2, x3) e queremos encontrar os valores dessas incógnitas. O método de Gauss-Seidel é uma técnica iterativa, ou seja, a gente vai aproximando a solução em passos sucessivos. Pra isso, precisamos reescrever as equações de forma que cada variável seja isolada em uma equação diferente.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar o sistema pra isolar cada variável:
  1. Da primeira equação: x1 + x2 = 1
    Então, x1 = 1 - x2
  2. Da segunda equação: x1 + 5x2 = 5
    Então, x2 = 5 - x15
  3. Da terceira equação: -6x2 + x3 = -5
    Então, x3 = -5 + 6x2
Agora, a gente escolhe um chute inicial. Vamos começar com x1^(0) = 0, x2^(0) = 0, e x3^(0) = 0.

Passo 3

Primeira Iteração:
  1. Calculando x1^(1):
    x1^(1) = 1 - x2^(0) = 1 - 0 = 1
  2. Calculando x2^(1):
    x2^(1) = 5 - x1^(1)5 = 5 - 15 = 45 = 0,8
  3. Calculando x3^(1):
    x3^(1) = -5 + 6x2^(1) = -5 + 6 times 0,8 = -5 + 4,8 = -0,2
Então, após a primeira iteração, temos:
x1^(1) = 1, x2^(1) = 0,8, x3^(1) = -0,2

Passo 4

Segunda Iteração:
  1. Calculando x1^(2):
    x1^(2) = 1 - x2^(1) = 1 - 0,8 = 0,2
  2. Calculando x2^(2):
    x2^(2) = 5 - x1^(2)5 = 5 - 0,25 = 4,85 = 0,96
  3. Calculando x3^(2):
    x3^(2) = -5 + 6x2^(2) = -5 + 6 times 0,96 = -5 + 5,76 = 0,76
Após a segunda iteração, os valores são:
x1^(2) = 0,2, x2^(2) = 0,96, x3^(2) = 0,76

Resposta

Após duas iterações do método de Gauss-Seidel, as aproximações das soluções são:
x1 = 0,2, x2 = 0,96, x3 = 0,76

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