O sistema dado admite decomposição de Cholesky? Por quê?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos apresenta um sistema de equações lineares com uma matriz específica e pergunta se esse sistema admite uma decomposição de Cholesky. Para resolver isso, vamos precisar saber o que é a decomposição de Cholesky e quais são as condições para que ela exista.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a decomposição de Cholesky. Ela é uma maneira de fatorar uma matriz simétrica e definida positiva em duas matrizes triangulares: uma triangular inferior e sua transposta. Ou seja, para uma matriz , se ela puder ser decomposta em , onde é uma matriz triangular inferior, então a decomposição de Cholesky existe para .
Passo 3
Agora, vamos verificar se a matriz do sistema dado atende aos requisitos para a decomposição de Cholesky. A matriz do sistema é:
Primeiro, precisamos verificar se é uma matriz simétrica. Uma matriz é simétrica se ela for igual à sua transposta, ou seja, se .
A transposta de é:
Comparando com , vemos que elas não são iguais porque o elemento da posição (3,2) em é 0, enquanto em é -6. Portanto, não é simétrica.
Passo 4
Como a matriz não é simétrica, ela não cumpre uma das condições essenciais para a existência da decomposição de Cholesky. Além disso, mesmo que fosse simétrica, ainda precisaríamos verificar se é definida positiva, o que não é o caso aqui.
Resposta
Não, o sistema dado não admite decomposição de Cholesky porque a matriz dos coeficientes não é simétrica.