Considere o sistema de equações lineares:
[ccc 1 & 1 & 0 1 & 5 & 0 0 & -6 & 1 ][l x1 x2 x3 ]=[c 1 5 -5 ]
O sistema dado admite decomposição de Cholesky? Por quê?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos apresenta um sistema de equações lineares com uma matriz específica e pergunta se esse sistema admite uma decomposição de Cholesky. Para resolver isso, vamos precisar saber o que é a decomposição de Cholesky e quais são as condições para que ela exista.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a decomposição de Cholesky. Ela é uma maneira de fatorar uma matriz simétrica e definida positiva em duas matrizes triangulares: uma triangular inferior e sua transposta. Ou seja, para uma matriz , se ela puder ser decomposta em , onde é uma matriz triangular inferior, então a decomposição de Cholesky existe para .

Passo 3

Agora, vamos verificar se a matriz do sistema dado atende aos requisitos para a decomposição de Cholesky. A matriz do sistema é:
A = 1 & 1 & 0 1 & 5 & 0 0 & -6 & 1
Primeiro, precisamos verificar se A^T = 1 & 1 & 0 1 & 5 & -6 0 & 0 & 1 é uma matriz simétrica. Uma matriz é simétrica se ela for igual à sua transposta, ou seja, se .
A transposta de é:
Comparando com , vemos que elas não são iguais porque o elemento da posição (3,2) em é 0, enquanto em é -6. Portanto, não é simétrica.

Passo 4

Como a matriz não é simétrica, ela não cumpre uma das condições essenciais para a existência da decomposição de Cholesky. Além disso, mesmo que fosse simétrica, ainda precisaríamos verificar se é definida positiva, o que não é o caso aqui.

Resposta

Não, o sistema dado não admite decomposição de Cholesky porque a matriz dos coeficientes não é simétrica.

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