Seja
a função definida por
.
a) Mostre que
é um ponto fixo de
.
b) Estime o máximo valor absoluto da derivada
no intervalo
e conclua que
é uma contração nesse intervalo.
c) Conclua que se
a sequência definida
converge para
.
a) Mostre que
b) Estime o máximo valor absoluto da derivada
c) Conclua que se
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem uma função definida por
. A matéria envolvida aqui é sobre pontos fixos de funções e contrações. Pra resolver, vamos precisar entender o que é um ponto fixo, calcular derivadas e analisar comportamentos de funções em intervalos específicos.
Passo 2
Vamos começar com a parte a): Mostrar que
é um ponto fixo de
.
Um ponto fixo de uma função
é um valor
tal que
.
Então, para mostrar que
é um ponto fixo, basta substituir
na função
e verificar se o resultado é igual a
.
Passo 3
Vamos substituir
na função:
Queremos mostrar que
, ou seja:
Passo 4
Agora, vamos resolver essa equação para confirmar:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Passo 5
As soluções dessa equação são
ou
. Porém, olhando para a função original
, vemos que para
,
, o que também é válido. Portanto,
também satisfaz a equação.
Passo 6
Então, confirmamos que
é realmente um ponto fixo da função
, já que
.
Passo 7
Agora, vamos para a parte b): Estimar o máximo valor absoluto da derivada
no intervalo
e concluir que
é uma contração nesse intervalo.
Primeiro, precisamos encontrar a derivada de
.
Passo 8
A função é
. Vamos derivar cada termo:
Simplificando:
Passo 9
Queremos encontrar o máximo valor absoluto de
no intervalo
.
Observando a derivada:
Note que conforme
aumenta,
diminui. Portanto, o máximo ocorre quando
é mínimo, ou seja,
.
Calculando
:
Passo 10
Então, o máximo valor absoluto de
em
é aproximadamente
.
Como esse valor é menor que 1, pela Condição de Contração, a função
é uma contração nesse intervalo.
Passo 11
Finalmente, a parte c): Concluir que se
, a sequência definida por
converge para
.
Como mostramos que
é uma contração no intervalo
, pelo Teorema do Ponto Fixo de Banach, sabemos que existe um único ponto fixo
para
nesse intervalo e que a sequência definida por
converge para esse ponto fixo, independentemente do valor inicial
escolhido em
.
Resposta
Portanto, concluímos que se
, a sequência
converge para o ponto fixo
.