Seja phi a função definida por phi(x) = x/2 + raiz(x/2).
a) Mostre que x* = x/2 + raiz(x/2) é um ponto fixo de phi.
b) Estime o máximo valor absoluto da derivada phi no intervalo [1, infinito) e conclua que phi é uma contração nesse intervalo.
c) Conclua que se x0 pertence a [1, infinito[ a sequência definida x_n+1 = phi(x_n) converge para x* = x/2 + raiz(x/2).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem uma função definida por . A matéria envolvida aqui é sobre pontos fixos de funções e contrações. Pra resolver, vamos precisar entender o que é um ponto fixo, calcular derivadas e analisar comportamentos de funções em intervalos específicos.

Passo 2

Vamos começar com a parte a): Mostrar que é um ponto fixo de .
Um ponto fixo de uma função é um valor tal que .
Então, para mostrar que é um ponto fixo, basta substituir na função e verificar se o resultado é igual a .

Passo 3

Vamos substituir na função:
Queremos mostrar que , ou seja:

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação para confirmar:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:

Passo 5

As soluções dessa equação são ou . Porém, olhando para a função original , vemos que para , , o que também é válido. Portanto, também satisfaz a equação.

Passo 6

Então, confirmamos que é realmente um ponto fixo da função , já que .

Passo 7

Agora, vamos para a parte b): Estimar o máximo valor absoluto da derivada no intervalo e concluir que é uma contração nesse intervalo.
Primeiro, precisamos encontrar a derivada de .

Passo 8

A função é . Vamos derivar cada termo:
Simplificando:

Passo 9

Queremos encontrar o máximo valor absoluto de no intervalo .
Observando a derivada:
Note que conforme aumenta, diminui. Portanto, o máximo ocorre quando é mínimo, ou seja, .
Calculando :

Passo 10

Então, o máximo valor absoluto de em é aproximadamente .
Como esse valor é menor que 1, pela Condição de Contração, a função é uma contração nesse intervalo.

Passo 11

Finalmente, a parte c): Concluir que se , a sequência definida por converge para .
Como mostramos que é uma contração no intervalo , pelo Teorema do Ponto Fixo de Banach, sabemos que existe um único ponto fixo para nesse intervalo e que a sequência definida por converge para esse ponto fixo, independentemente do valor inicial escolhido em .

Resposta

Portanto, concluímos que se , a sequência converge para o ponto fixo .

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