Seja a função definida por .
a) Mostre que é um ponto fixo de .
b) Estime o máximo valor absoluto da derivada no intervalo e conclua que é uma contração nesse intervalo.
c) Conclua que se a sequência definida converge para .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem uma função definida por . A matéria envolvida aqui é sobre pontos fixos de funções e contrações. Pra resolver, vamos precisar entender o que é um ponto fixo, calcular derivadas e analisar comportamentos de funções em intervalos específicos.

Passo 2

Vamos começar com a parte a): Mostrar que é um ponto fixo de .
Um ponto fixo de uma função é um valor tal que .
Então, para mostrar que é um ponto fixo, basta substituir na função e verificar se o resultado é igual a .

Passo 3

Vamos substituir na função:
Queremos mostrar que , ou seja:

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação para confirmar:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:

Passo 5

As soluções dessa equação são ou . Porém, olhando para a função original , vemos que para , , o que também é válido. Portanto, também satisfaz a equação.

Passo 6

Então, confirmamos que é realmente um ponto fixo da função , já que .

Passo 7

Agora, vamos para a parte b): Estimar o máximo valor absoluto da derivada no intervalo e concluir que é uma contração nesse intervalo.
Primeiro, precisamos encontrar a derivada de .

Passo 8

A função é . Vamos derivar cada termo:
Simplificando:

Passo 9

Queremos encontrar o máximo valor absoluto de no intervalo .
Observando a derivada:
Note que conforme aumenta, diminui. Portanto, o máximo ocorre quando é mínimo, ou seja, .
Calculando :

Passo 10

Então, o máximo valor absoluto de em é aproximadamente .
Como esse valor é menor que 1, pela Condição de Contração, a função é uma contração nesse intervalo.

Passo 11

Finalmente, a parte c): Concluir que se , a sequência definida por converge para .
Como mostramos que é uma contração no intervalo , pelo Teorema do Ponto Fixo de Banach, sabemos que existe um único ponto fixo para nesse intervalo e que a sequência definida por converge para esse ponto fixo, independentemente do valor inicial escolhido em .

Resposta

Portanto, concluímos que se , a sequência converge para o ponto fixo .

Exercícios relacionados

A equação pode ser reescrita como de diversas formas diferentes para aplicação do método do ponto fixo (iterações lineares). Determine analiticamente a região de convergência para as raízes e e faça os gráficos de convergência superposto à reta para os seguintes casos:
a)
b)
Considere a função .
a) Mostre que a equação possui apenas uma solução positiva.
b) Deseja-se calcular tal que por um método do ponto fixo Qual das funções
é a mais adequada para esse fim? Justifique com base na análise de convergência para cada caso.
c) Para a função escolhida, calcule 5 iterações partindo do ponto .
d) Para e para a função escolhida, determine o número de iterações necessárias (sem fazer as iterações) para calcular com precisão de .
Deseja-se resolver a equação pelo método do ponto fixo, utilizando e a seguinte função de iteração
a) Mostre que a equação em questão possui uma única raiz no intervalo e que é ponto fixo de .
b) Calcule 10 iterações, partindo-se de .
c) Mostre que e conclua que NÃO é uma contração em qualquer intervalo que contenha a raiz .
d) Mostre que a derivada é crescente no intervalo e que, portanto, .
e) Utilizando o Teorema do valor médio , com entre e , conclua que, sempre que e , então .
f) Seja e considere a sequência definida por . Mostre que, se e , então existe algum tal que . Conclua que, em geral, a sequência gerada por não é convergente e que essa função não é adequada para resolver a equação dada.
Usando a regra da cadeia determine . $(d) e