Seja
a função definida por
.
a) Mostre que
é um ponto fixo de
.
b) Estime o máximo valor absoluto da derivada
no intervalo
e conclua que
é uma contração nesse intervalo.
c) Conclua que se
a sequência definida
converge para
.
a) Mostre que
b) Estime o máximo valor absoluto da derivada
c) Conclua que se
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem uma função definida por
. A matéria envolvida aqui é sobre pontos fixos de funções e contrações. Pra resolver, vamos precisar entender o que é um ponto fixo, calcular derivadas e analisar comportamentos de funções em intervalos específicos.
Passo 2
Vamos começar com a parte a): Mostrar que
é um ponto fixo de
.
Um ponto fixo de uma função
é um valor
tal que
.
Então, para mostrar que
é um ponto fixo, basta substituir
na função
e verificar se o resultado é igual a
.
Passo 3
Vamos substituir
na função:
Queremos mostrar que
, ou seja:
Passo 4
Agora, vamos resolver essa equação para confirmar:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Passo 5
As soluções dessa equação são
ou
. Porém, olhando para a função original
, vemos que para
,
, o que também é válido. Portanto,
também satisfaz a equação.
Passo 6
Então, confirmamos que
é realmente um ponto fixo da função
, já que
.
Passo 7
Agora, vamos para a parte b): Estimar o máximo valor absoluto da derivada
no intervalo
e concluir que
é uma contração nesse intervalo.
Primeiro, precisamos encontrar a derivada de
.
Passo 8
A função é
. Vamos derivar cada termo:
Simplificando:
Passo 9
Queremos encontrar o máximo valor absoluto de
no intervalo
.
Observando a derivada:
Note que conforme
aumenta,
diminui. Portanto, o máximo ocorre quando
é mínimo, ou seja,
.
Calculando
:
Passo 10
Então, o máximo valor absoluto de
em
é aproximadamente
.
Como esse valor é menor que 1, pela Condição de Contração, a função
é uma contração nesse intervalo.
Passo 11
Finalmente, a parte c): Concluir que se
, a sequência definida por
converge para
.
Como mostramos que
é uma contração no intervalo
, pelo Teorema do Ponto Fixo de Banach, sabemos que existe um único ponto fixo
para
nesse intervalo e que a sequência definida por
converge para esse ponto fixo, independentemente do valor inicial
escolhido em
.
Resposta
Portanto, concluímos que se
, a sequência
converge para o ponto fixo
.
Exercícios relacionados
A equação
pode ser reescrita como
de diversas formas diferentes para aplicação do método do ponto fixo (iterações lineares). Determine analiticamente a região de convergência para as raízes
e
e faça os gráficos de convergência
superposto à reta
para os seguintes casos:
a)
b)
a)
b)
Considere a função
.
a) Mostre que a equação possui apenas uma solução positiva.
b) Deseja-se calcular tal que
por um método do ponto fixo
Qual das funções
a) Mostre que a equação
b) Deseja-se calcular
é a mais adequada para esse fim? Justifique com base na análise de convergência para cada caso.
c) Para a função escolhida, calcule 5 iterações partindo do ponto .
d) Para e para a função escolhida, determine o número de iterações necessárias (sem fazer as iterações) para calcular
com precisão de
.
c) Para a função escolhida, calcule 5 iterações partindo do ponto
d) Para
Deseja-se resolver a equação
pelo método do ponto fixo, utilizando
e a seguinte função de iteração
a) Mostre que a equação em questão possui uma única raiz
no intervalo
e que
é ponto fixo de
.
b) Calcule 10 iterações, partindo-se de .
c) Mostre que e conclua que
NÃO é uma contração em qualquer intervalo
que contenha a raiz
.
d) Mostre que a derivada é crescente no intervalo
e que, portanto,
.
e) Utilizando o Teorema do valor médio , com
entre
e
, conclua que, sempre que
e
, então
.
f) Seja e considere a sequência definida por
. Mostre que, se
e
, então existe algum
tal que
. Conclua que, em geral, a sequência gerada por
não é convergente e que essa função não é adequada para resolver a equação dada.
b) Calcule 10 iterações, partindo-se de
c) Mostre que
d) Mostre que a derivada
e) Utilizando o Teorema do valor médio
f) Seja
Usando a regra da cadeia determine
. $(d)
e