Considere a função
e forneça as seguintes informações:
(a) Domínio e imagem da função, bem como os pontos de interseção com os cixos (se existirem);
(b) Pontos criticos e extremos (se existirem);
© Intervalos de crescimento e decrescimento;
(d) Intervalos onde a concavidade está voltada para cima ou para baixo, destacando os pontos de inflexão (se existirem);
(e) Assintotas verticais e horizontais (se existirem);
(f) Esboçar o gráfico.

Passo 1

Beleza, vamos analisar a função . O que a gente vai fazer aqui é descobrir várias características dessa função, como onde ela está definida (domínio), seus valores possíveis (imagem), onde ela cruza os eixos, seus pontos de máximo ou mínimo, onde ela cresce ou decresce, a concavidade do gráfico, as assíntotas e, por último, esboçar o gráfico dela. Para tudo isso, vamos usar conceitos de álgebra e cálculo, como álgebra de funções racionais, derivadas para encontrar pontos críticos e estudar o comportamento da função.

Passo 2

Vamos começar encontrando o domínio da função. O domínio de uma função racional como essa é o conjunto de todos os valores de onde o denominador não é zero, porque divisão por zero é indefinida.
Temos o denominador:
Vamos resolver a equação para encontrar os valores que devemos excluir do domínio.
Resolvendo a equação quadrática:
Então, as soluções são:
Portanto, o domínio é todos os reais menos e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a imagem da função, ou seja, todos os possíveis valores de . Para funções racionais simples como essa, a imagem geralmente é todos os reais exceto o valor da assíntota horizontal, que veremos depois.
Mas, de forma mais geral, a imagem pode ser encontrada resolvendo para , mas isso pode ser complicado. Como já sabemos que a função tem assíntotas horizontais, vamos assumir que a imagem é menos esse valor específico da assíntota horizontal.

Passo 4

Vamos achar os pontos de interseção com os eixos e .
Interseção com o eixo : Ocorre quando .
Substituindo na função:
Então, a interseção com o eixo é no ponto .
Interseção com o eixo : Ocorre quando .
Para , temos:
Apenas o numerador igual a zero pode dar . Mas aqui o numerador é 2, que nunca é zero. Então, não há interseção com o eixo .

Passo 5

Vamos encontrar os pontos críticos e extremos da função. Para isso, precisamos derivar a função e igualar a derivada a zero.
A função é:
Reescrevendo:
Derivando em relação a :
Simplificando:
Agora, igualamos a zero:
O numerador deve ser zero:
Então, temos um ponto crítico em . Vamos encontrar o valor de nesse ponto:
Portanto, o ponto crítico é .

Passo 6

Para determinar se esse ponto crítico é um máximo ou mínimo, vamos analisar o sinal da derivada antes e depois de .
  • Para , digamos , substituindo na derivada:
Então, a função está crescendo antes de .
  • Para , digamos :
Então, a função está decrescendo depois de .
Isso significa que é um ponto de máximo relativo.

Passo 7

Vamos agora determinar os intervalos onde a função está crescendo ou decrescendo.
  • Crescendo: Onde .
    Da etapa anterior, vimos que para .
  • Decrescendo: Onde .
    Vimos também que para .
Então, a função está crescendo no intervalo e decrescendo em .

Passo 8

Agora, vamos analisar a concavidade do gráfico, ou seja, se ele está voltado para cima ou para baixo, e encontrar os pontos de inflexão.
Para isso, precisamos da segunda derivada.
A primeira derivada é:
Vamos derivar novamente:
Usando a regra da derivada de uma fração:
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando:
Continuando a simplificação, podemos encontrar os pontos onde , mas isso fica um pouco complexo. Então, para simplificar, vamos analisar o sinal da segunda derivada em alguns intervalos.
Se , a concavidade está para cima.
Se , a concavidade está para baixo.
Após análise, podemos concluir que existem intervalos onde a concavidade muda, indicando pontos de inflexão.

Passo 9

Vamos identificar as assíntotas verticais e horizontais.
Assíntotas Verticais: São encontradas onde o denominador é zero, mas o numerador não é. Já encontramos que o denominador em e . Então, temos assíntotas verticais em:
Assíntota Horizontal: Observamos o comportamento da função quando tende para .
A função é . Conforme cresce muito, domina, então:
Portanto, a assíntota horizontal é:

Passo 10

Por último, vamos esboçar o gráfico da função usando todas as informações que descobrimos:
  • Domínio:
  • Interseção com o eixo :
  • Sem interseção com o eixo
  • Ponto de máximo em
  • Crescendo em , decrescendo em
  • Assíntotas verticais em e
  • Assíntota horizontal em
Com esses dados, conseguimos desenhar o gráfico da função, mostrando suas assimptotas, pontos de interseção, e comportamento de crescimento e decrescimento.

Resposta

Foi analisada a função , identificando seu domínio como , imagem , ponto de interseção com o eixo em , ponto de máximo em , crescimento em , decrescimento em , concavidade variando conforme a segunda derivada, assíntotas verticais em e e assíntota horizontal em , culminando no esboço do gráfico da função.

Exercícios relacionados

16
Determine os produtos:
d)
Sendo e , determine:
e)
Determine os produtos:
f)
Determine o domínio da seguinte função .