Determine o domínio da seguinte função f(x) = raiz((x^2 - 1) / (2 - x)).

Passo 1

Beleza! A gente tem a função e precisa descobrir para quais valores de essa função está definida, ou seja, encontrar o domínio dela. Vamos usar conhecimentos de funções, radiciação e frações para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, pra função estar definida, o que está dentro da raiz quadrada tem que ser maior ou igual a zero. Então, vamos garantir que a expressão dentro da raiz seja não-negativa:

Passo 3

Além disso, precisamos ter certeza de que o denominador não seja zero, porque divisão por zero não é permitida. Então, vamos resolver:

Passo 4

Agora, vamos resolver a desigualdade . Primeiro, fatoramos o numerador:
Então, a desigualdade fica:

Passo 5

Vamos notar que , então podemos reescrever a desigualdade como:
Agora, precisamos encontrar os intervalos onde essa fração é menor ou igual a zero.

Passo 6

Identificamos os pontos críticos onde o numerador ou o denominador é zero:
Esses pontos vão dividir a reta numérica em intervalos que vamos testar.

Passo 7

Os intervalos são:
Vamos escolher um número em cada intervalo e verificar o sinal da fração.

Passo 8

  1. : Por exemplo,
  1. : Por exemplo,
  1. : Por exemplo,
  1. : Por exemplo,

Passo 9

A desigualdade é satisfeita nos intervalos onde a fração é negativa ou zero. Observando os testes:
Também incluímos os pontos onde o numerador é zero ( e ).

Resposta

O domínio da função é:

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