Considere a função
. Queremos construir um retângulo de lados paralelos aos eixos coordenados que esteja inscrito na região
formada pelo gráfico da função
com os eixos
e
. Qual o tamanho dos lados desse retângulo para que a área seja máxima, e qual é esse valor de área máxima?
Passo 1
Então, a gente tem a função
no intervalo
. A ideia é desenhar um retângulo cujos lados são paralelos aos eixos
e
, que fique dentro da região formada por essa função e pelos eixos. Nosso objetivo é descobrir quais devem ser os tamanhos dos lados desse retângulo para que a área dele seja a maior possível.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a forma do retângulo. Como os lados são paralelos aos eixos, se o canto superior direito do retângulo está no ponto
, então os outros cantos são
,
e
. Portanto, a largura do retângulo é
e a altura é
.
Passo 3
A área
do retângulo é dada por:
Mas sabemos que
, então podemos substituir:
Passo 4
Para encontrar o valor de
que maximiza a área, precisamos derivar a função
em relação a
e achar onde essa derivada é zero (ponto crítico). Isso porque, nesse ponto, a área pode ter um máximo.
Passo 5
Vamos derivar
. Usamos a regra do produto:
Simplificando:
Passo 6
Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Isso acontece quando o numerador é zero:
Passo 7
Com
, substituímos na função
:
Passo 8
Agora, sabemos que para
e
, a área é:
Passo 9
Para confirmar que é um máximo, podemos analisar a segunda derivada ou observar o comportamento da derivada primeira, mas aqui já vemos que é o único ponto crítico no intervalo e a área faz sentido ser máxima.
Resposta
O retângulo com área máxima tem lados de comprimento
unidades cada, e a área máxima é
unidades quadradas.
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Seja
. Esboce o gráfico de
depois de
encontrar as assíntotas horizontais e verticais, se existirem.
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Encontre o limite, quando existir, justificando seu raciocínio. Use a Regra de l
Calcule os limites: