Considere a função . Queremos construir um retângulo de lados paralelos aos eixos coordenados que esteja inscrito na região formada pelo gráfico da função com os eixos e . Qual o tamanho dos lados desse retângulo para que a área seja máxima, e qual é esse valor de área máxima?

Passo 1

Então, a gente tem a função no intervalo . A ideia é desenhar um retângulo cujos lados são paralelos aos eixos e , que fique dentro da região formada por essa função e pelos eixos. Nosso objetivo é descobrir quais devem ser os tamanhos dos lados desse retângulo para que a área dele seja a maior possível.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a forma do retângulo. Como os lados são paralelos aos eixos, se o canto superior direito do retângulo está no ponto , então os outros cantos são , e . Portanto, a largura do retângulo é e a altura é .

Passo 3

A área do retângulo é dada por:
Mas sabemos que , então podemos substituir:

Passo 4

Para encontrar o valor de que maximiza a área, precisamos derivar a função em relação a e achar onde essa derivada é zero (ponto crítico). Isso porque, nesse ponto, a área pode ter um máximo.

Passo 5

Vamos derivar . Usamos a regra do produto:
Simplificando:

Passo 6

Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Isso acontece quando o numerador é zero:
(como )

Passo 7

Com , substituímos na função :

Passo 8

Agora, sabemos que para e , a área é:

Passo 9

Para confirmar que é um máximo, podemos analisar a segunda derivada ou observar o comportamento da derivada primeira, mas aqui já vemos que é o único ponto crítico no intervalo e a área faz sentido ser máxima.

Resposta

O retângulo com área máxima tem lados de comprimento unidades cada, e a área máxima é unidades quadradas.

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