Encontre o limite, quando existir, justificando seu raciocínio. Use a Regra de l
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o limite da expressão quando
tende a
. Isso está relacionado ao conteúdo de limites envolvendo funções trigonométricas e o uso da Regra de L’Hôpital para resolver indeterminações.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece com cada parte da expressão quando
tende a
. Sabemos que:
- Quando
aumenta sem limite, vai tendendo a 0. - O seno de um valor que tende a 0 também tende a esse valor. Ou seja, para valores grandes de
.
Passo 3
Então, substituindo essa aproximação na expressão original, temos:
Isso sugere que o limite pode ser
. Mas para termos certeza, vamos aplicar a Regra de L’Hôpital.
Passo 4
A Regra de L’Hôpital é usada para resolver limites que resultam em formas indeterminadas, como
ou
. Para usá-la, precisamos reescrever nossa expressão como uma fração.
Podemos reescrever da seguinte forma:
Agora, quando
tende a
, tanto o numerador quanto o denominador tendem a 0, gerando a forma
, que é uma situação onde a Regra de L’Hôpital pode ser aplicada.
Passo 5
Aplicando a Regra de L’Hôpital, derivamos o numerador e o denominador em relação a
:
-
Derivada do numerador :Usando a regra da cadeia:
-
Derivada do denominador
:
Passo 6
Substituindo as derivadas na Regra de L’Hôpital, temos:
Passo 7
Agora, avaliamos o limite de
quando
tende a
:
Passo 8
Portanto, o limite final é:
Resposta
O limite é
.
Exercícios relacionados
Considere a função
. Queremos construir um retângulo de lados paralelos aos eixos coordenados que esteja inscrito na região
formada pelo gráfico da função
com os eixos
e
. Qual o tamanho dos lados desse retângulo para que a área seja máxima, e qual é esse valor de área máxima?
Seja
. Esboce o gráfico de
depois de
encontrar as assíntotas horizontais e verticais, se existirem.
encontrar as assíntotas horizontais e verticais, se existirem.
Calcule os limites:
Derive as funções abaixo:
pts