Encontre o limite, quando existir, justificando seu raciocínio. Use a Regra de l

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o limite da expressão quando tende a . Isso está relacionado ao conteúdo de limites envolvendo funções trigonométricas e o uso da Regra de L’Hôpital para resolver indeterminações.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com cada parte da expressão quando tende a . Sabemos que:
  • Quando aumenta sem limite, vai tendendo a 0.
  • O seno de um valor que tende a 0 também tende a esse valor. Ou seja, para valores grandes de .

Passo 3

Então, substituindo essa aproximação na expressão original, temos:
Isso sugere que o limite pode ser . Mas para termos certeza, vamos aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 4

A Regra de L’Hôpital é usada para resolver limites que resultam em formas indeterminadas, como ou . Para usá-la, precisamos reescrever nossa expressão como uma fração.
Podemos reescrever da seguinte forma:
Agora, quando tende a , tanto o numerador quanto o denominador tendem a 0, gerando a forma , que é uma situação onde a Regra de L’Hôpital pode ser aplicada.

Passo 5

Aplicando a Regra de L’Hôpital, derivamos o numerador e o denominador em relação a :
  • Derivada do numerador :
    Usando a regra da cadeia:
  • Derivada do denominador :

Passo 6

Substituindo as derivadas na Regra de L’Hôpital, temos:

Passo 7

Agora, avaliamos o limite de quando tende a :

Passo 8

Portanto, o limite final é:

Resposta

O limite é .

Exercícios relacionados

Considere a função . Queremos construir um retângulo de lados paralelos aos eixos coordenados que esteja inscrito na região formada pelo gráfico da função com os eixos e . Qual o tamanho dos lados desse retângulo para que a área seja máxima, e qual é esse valor de área máxima?
Seja . Esboce o gráfico de depois de
encontrar as assíntotas horizontais e verticais, se existirem.
Calcule os limites:
Derive as funções abaixo: pts