Seja g(x) = raiz cúbica(x^2 - 1). Esboce o gráfico de g(x) depois de
encontrar as assíntotas horizontais e verticais, se existirem.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente desenhar o gráfico da função . Isso envolve encontrar as assíntotas horizontais e verticais, se existirem. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções de raiz cúbica e como identificar assíntotas.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se existem assíntotas verticais. Essas assíntotas acontecem onde a função não está definida, geralmente onde o denominador de uma fração é zero. No nosso caso, a função é . Como estamos tirando a raiz cúbica, que está definida para todos os números reais (positivo, negativo ou zero), não há valores de que tornem a função indefinida. Portanto, não existem assíntotas verticais.

Passo 3

Agora, vamos procurar por assíntotas horizontais. Essas assíntotas indicam o comportamento da função quando vai para ou . Para encontrar isso, calculamos os limites:
Quando tende a ou , domina o termo “-1”, então temos aproximadamente , que cresce sem limite. Assim:
Isso significa que não existem assíntotas horizontais, já que a função cresce indefinidamente em ambas as direções.

Passo 4

Como não temos assíntotas verticais ou horizontais, vamos analisar o comportamento da função para entender melhor seu gráfico. A função é simétrica em relação ao eixo porque é uma função par. Isso significa que o gráfico será o mesmo para positivo e negativo.
Quando :
Quando :
Quando :
E assim por diante. Podemos notar que a função cresce conforme aumenta ou diminui, sem se aproximar de nenhuma assíntota.

Resposta

A função não possui assíntotas verticais nem horizontais. O gráfico é simétrico em relação ao eixo e cresce indefinidamente para positivo e negativo. Abaixo está um esboço do gráfico:
Gráfico de
(Nota: Insira o esboço do gráfico conforme os pontos calculados e o comportamento descrito.)

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