Seja
. Esboce o gráfico de
depois de
encontrar as assíntotas horizontais e verticais, se existirem.
encontrar as assíntotas horizontais e verticais, se existirem.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente desenhar o gráfico da função
. Isso envolve encontrar as assíntotas horizontais e verticais, se existirem. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções de raiz cúbica e como identificar assíntotas.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se existem assíntotas verticais. Essas assíntotas acontecem onde a função não está definida, geralmente onde o denominador de uma fração é zero. No nosso caso, a função é
. Como estamos tirando a raiz cúbica, que está definida para todos os números reais (positivo, negativo ou zero), não há valores de
que tornem a função indefinida. Portanto, não existem assíntotas verticais.
Passo 3
Agora, vamos procurar por assíntotas horizontais. Essas assíntotas indicam o comportamento da função quando
vai para
ou
. Para encontrar isso, calculamos os limites:
Quando
tende a
ou
,
domina o termo “-1”, então temos aproximadamente
, que cresce sem limite. Assim:
Isso significa que não existem assíntotas horizontais, já que a função cresce indefinidamente em ambas as direções.
Passo 4
Como não temos assíntotas verticais ou horizontais, vamos analisar o comportamento da função para entender melhor seu gráfico. A função
é simétrica em relação ao eixo
porque
é uma função par. Isso significa que o gráfico será o mesmo para
positivo e negativo.
Quando
:
Quando
:
Quando
:
E assim por diante. Podemos notar que a função cresce conforme
aumenta ou diminui, sem se aproximar de nenhuma assíntota.
Resposta
A função
não possui assíntotas verticais nem horizontais. O gráfico é simétrico em relação ao eixo
e cresce indefinidamente para
positivo e negativo. Abaixo está um esboço do gráfico:

(Nota: Insira o esboço do gráfico conforme os pontos calculados e o comportamento descrito.)