Seja . Esboce o gráfico de depois de
encontrar as assíntotas horizontais e verticais, se existirem.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para a gente desenhar o gráfico da função depois de encontrar as assíntotas horizontais e verticais, se elas existirem. Para isso, vamos usar conceitos de análise de funções, especialmente sobre assíntotas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as assíntotas verticais. Essas assíntotas acontecem onde o denominador da função é zero, pois a função tende ao infinito nesse ponto. Vamos resolver o denominador igual a zero:
Então, temos uma assíntota vertical em .

Passo 3

Agora, vamos procurar as assíntotas horizontais. Para isso, observamos o comportamento da função quando tende a ou . Vamos calcular o limite de quando vai para infinito:
Portanto, a assíntota horizontal é .

Passo 4

Com as assíntotas encontradas, vamos entender melhor o comportamento da função nos arredores dessas assíntotas. Sabemos que:
  • Próximo a : A função tende ao infinito positivo ou negativo dependendo do lado em que estamos.
  • Quando é muito grande ou muito pequeno: A função se aproxima de .

Passo 5

Vamos esboçar o gráfico. Começamos desenhando as assíntotas:
  • Trace uma linha vertical em para a assíntota vertical.
  • Trace uma linha horizontal em para a assíntota horizontal.

Passo 6

Agora, analisamos alguns pontos para ter mais precisão no gráfico. Vamos escolher alguns valores de e calcular :
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 7

Com esses pontos, podemos plotar algumas partes do gráfico:
  • Em , (ponto na interseção com a assíntota horizontal).
  • Em , .
  • Em , .
Isso nos ajuda a ver como a função se comporta próximo às assíntotas e nos dá pontos específicos para desenhar o gráfico.

Passo 8

Finalmente, conectamos os pontos e desenhamos as curvas respeitando as assíntotas:
  • Para , a função desce em direção a conforme aumenta.
  • Para , a função sobe em direção a conforme diminui.

Resposta

Após identificar as assíntotas verticais em e a assíntota horizontal em , e plotar pontos chave como , e , o esboço do gráfico de mostra uma curva que se aproxima das assíntotas conforme tende a infinito ou a zero, respeitando os comportamentos encontrados nos passos anteriores.

Exercícios relacionados

(5 pontos) Consideremos a função . Encontre o valor da Derivada direcional de , na direção do vetor , no ponto . Com base apenas nesse valor, é possível afirmar se P é um ponto crítico? Justifique sua resposta.
Encontre os valores máximos e mínimos da função .
Notação: significa .
Seja . Esboce o gráfico de depois de
encontrar as assíntotas horizontais e verticais, se existirem.
Considere a função . Queremos construir um retângulo de lados paralelos aos eixos coordenados que esteja inscrito na região formada pelo gráfico da função com os eixos e . Qual o tamanho dos lados desse retângulo para que a área seja máxima, e qual é esse valor de área máxima?