Seja
. Esboce o gráfico de
depois de
encontrar as assíntotas horizontais e verticais, se existirem.
encontrar as assíntotas horizontais e verticais, se existirem.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para a gente desenhar o gráfico da função
depois de encontrar as assíntotas horizontais e verticais, se elas existirem. Para isso, vamos usar conceitos de análise de funções, especialmente sobre assíntotas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as assíntotas verticais. Essas assíntotas acontecem onde o denominador da função é zero, pois a função tende ao infinito nesse ponto. Vamos resolver o denominador igual a zero:
Então, temos uma assíntota vertical em
.
Passo 3
Agora, vamos procurar as assíntotas horizontais. Para isso, observamos o comportamento da função quando
tende a
ou
. Vamos calcular o limite de
quando
vai para infinito:
Portanto, a assíntota horizontal é
.
Passo 4
Com as assíntotas encontradas, vamos entender melhor o comportamento da função nos arredores dessas assíntotas. Sabemos que:
- Próximo a
: A função tende ao infinito positivo ou negativo dependendo do lado em que estamos. - Quando
é muito grande ou muito pequeno: A função se aproxima de .
Passo 5
Vamos esboçar o gráfico. Começamos desenhando as assíntotas:
- Trace uma linha vertical em
para a assíntota vertical. - Trace uma linha horizontal em
para a assíntota horizontal.
Passo 6
Agora, analisamos alguns pontos para ter mais precisão no gráfico. Vamos escolher alguns valores de
e calcular
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 7
Com esses pontos, podemos plotar algumas partes do gráfico:
- Em
, (ponto na interseção com a assíntota horizontal). - Em
, . - Em
, .
Isso nos ajuda a ver como a função se comporta próximo às assíntotas e nos dá pontos específicos para desenhar o gráfico.
Passo 8
Finalmente, conectamos os pontos e desenhamos as curvas respeitando as assíntotas:
- Para
, a função desce em direção a conforme aumenta. - Para
, a função sobe em direção a conforme diminui.
Resposta
Após identificar as assíntotas verticais em
e a assíntota horizontal em
, e plotar pontos chave como
,
e
, o esboço do gráfico de
mostra uma curva que se aproxima das assíntotas conforme
tende a infinito ou a zero, respeitando os comportamentos encontrados nos passos anteriores.
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, na direção do vetor
, no ponto
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.
Notação: significa
.
Notação:
Seja
. Esboce o gráfico de
depois de
encontrar as assíntotas horizontais e verticais, se existirem.
encontrar as assíntotas horizontais e verticais, se existirem.
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formada pelo gráfico da função
com os eixos
e
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