Resolva as equações diferenciais abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação diferencial
. Isso está dentro das equações diferenciais de primeira ordem, que a gente resolve usando um método chamado fator integrante. Vamos precisar lembrar de como encontrar esse fator e aplicá-lo pra simplificar a equação e resolver para
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos da nossa equação. Tem a forma padrão de uma equação linear:
Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante
. Ele é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
A ideia aqui é que o lado esquerdo agora é a derivada de
.
Passo 5
Reescrevendo o lado esquerdo como a derivada:
Agora, a gente vai integrar ambos os lados em relação a
.
Passo 6
Integrando ambos os lados:
O lado esquerdo simplifica para:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora, precisamos resolver a integral do lado direito. Vamos usar substituição. Seja:
Reescrevendo a integral:
Mas
, então
:
A integral
é
, então:
Simplificando:
Passo 8
Voltando à nossa expressão:
Agora, dividimos tudo por
para isolar
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.
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Resolva as equações diferenciais abaixo:
Uma curva tem seus pontos descritos pela equação
. Determine os valores das abscissas dos pontos dessa curva em que a reta tangente à curva dada é horizontal.
Resolva as equações diferenciais abaixo:
Considere a função
.
(1,5 ponto) Escreva a equação das curvas de nível da função para os seguintes valores de
e
e represente-as num mesmo plano cartesiano.
(1,5 ponto) Escreva a equação das curvas de nível da função