Resolva as equações diferenciais abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação diferencial . Isso está dentro das equações diferenciais de primeira ordem, que a gente resolve usando um método chamado fator integrante. Vamos precisar lembrar de como encontrar esse fator e aplicá-lo pra simplificar a equação e resolver para .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da nossa equação. Tem a forma padrão de uma equação linear:
Aqui, e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante . Ele é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
A ideia aqui é que o lado esquerdo agora é a derivada de .

Passo 5

Reescrevendo o lado esquerdo como a derivada:
Agora, a gente vai integrar ambos os lados em relação a .

Passo 6

Integrando ambos os lados:
O lado esquerdo simplifica para:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Agora, precisamos resolver a integral do lado direito. Vamos usar substituição. Seja:
Reescrevendo a integral:
Mas , então :
A integral é , então:
Simplificando:

Passo 8

Voltando à nossa expressão:
Agora, dividimos tudo por para isolar :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante arbitrária.

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Considere a função .
(1,5 ponto) Escreva a equação das curvas de nível da função para os seguintes valores de e e represente-as num mesmo plano cartesiano.