Resolva a equação diferencial da forma , usando o método da variação de parâmetros.
a) .
Passo 1
Beleza! Vamos resolver a equação diferencial usando o método da variação de parâmetros. Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e depois aplicar a variação de parâmetros para encontrar uma solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é . Para isso, assumimos uma solução da forma , onde é uma constante a ser determinada.
Passo 3
Substituindo na equação homogênea:
Então,
Dividindo ambos os lados por , que nunca é zero:
Passo 4
Agora, vamos resolver a equação característica . Encontramos as raízes dessa equação usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são:
Passo 5
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes arbitrárias.
Passo 6
Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa usando o método da variação de parâmetros. Primeiro, identificamos que o lado direito não é solução da equação homogênea, então podemos proceder com este método.
Passo 7
O método da variação de parâmetros sugere que a solução particular tenha a forma:
Onde e são funções a serem determinadas.
Passo 8
Para encontrar e , usamos as seguintes fórmulas:
Onde é o Wronskiano das soluções homogêneas e .
Passo 9
Calculamos o Wronskiano :
Passo 10
Agora, substituímos nas expressões para e :
Passo 11
Integrando e para encontrar e :
Passo 12
Vamos resolver a integração de :
Usamos a integração por partes ou a fórmula de integração direta para funções exponenciais multiplicadas por cosseno: