Resolva a equação diferencial da forma y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x), usando o método da variação de parâmetros.
a) y'' - 3y' + 2y = cos(x).

Passo 1

Beleza! Vamos resolver a equação diferencial usando o método da variação de parâmetros. Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e depois aplicar a variação de parâmetros para encontrar uma solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é . Para isso, assumimos uma solução da forma , onde é uma constante a ser determinada.

Passo 3

Substituindo na equação homogênea:
Então,
Dividindo ambos os lados por , que nunca é zero:

Passo 4

Agora, vamos resolver a equação característica . Encontramos as raízes dessa equação usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são:

Passo 5

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes arbitrárias.

Passo 6

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa usando o método da variação de parâmetros. Primeiro, identificamos que o lado direito não é solução da equação homogênea, então podemos proceder com este método.

Passo 7

O método da variação de parâmetros sugere que a solução particular tenha a forma:
Onde e são funções a serem determinadas.

Passo 8

Para encontrar e , usamos as seguintes fórmulas:
Onde é o Wronskiano das soluções homogêneas e .

Passo 9

Calculamos o Wronskiano :

Passo 10

Agora, substituímos nas expressões para e :

Passo 11

Integrando e para encontrar e :

Passo 12

Vamos resolver a integração de :
Usamos a integração por partes ou a fórmula de integração direta para funções exponenciais multiplicadas por cosseno:
Aplicando com e :

Passo 13

Agora, resolvemos a integração de :
Usando a mesma fórmula com e :

Passo 14

Substituímos e na expressão de :
Simplificando:

Passo 15

Agora, combinamos os termos:
Calculando os coeficientes:
Então:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados