Considere a função z = f(x, y) = ln(x - 2y), definida para todo (x, y) do plano, tal que x > 2y, e os pontos P1(3,1), P2(0,-3) e P3(-3,-2). Lembre-se que são válidas as seguintes propriedades para as funções logarítmicas: ln 1 = 0; ln e = 1 e se a,b > 0 então ln(a) = ln(b) se, somente se, a = b. Ao responder as seguintes questões, justifique sempre sua resposta.
b)Obtenha uma equação para cada uma das duas curvas de nível de f que contêm, respectivamente, os pontos P1 e P2 e faça um esboço delas no plano xy.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função e três pontos no plano: , e . A questão pede para a gente encontrar as equações das curvas de nível que passam pelos pontos e .
Matéria envolvida: A gente vai trabalhar com curvas de nível de funções de duas variáveis e propriedades de funções logarítmicas.
O que vamos precisar: Entender como encontrar curvas de nível, usar as propriedades do logaritmo para simplificar as equações e saber representar essas curvas no plano .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são curvas de nível. Para uma função , uma curva de nível é o conjunto de pontos onde a função assume um valor constante. Matematicamente, é definida por:
onde é uma constante.

Passo 3

No nosso caso, a função é . Então, uma curva de nível será:
Para facilitar, vamos resolver essa equação para e .

Passo 4

Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo, temos:
Então, a curva de nível é uma reta no plano , dada por:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a equação das curvas de nível que passam por e .
Para :
Substituímos e na equação :
Tomando o logaritmo natural de ambos os lados:
Então, a equação da curva de nível que passa por é:
Para :
Substituímos e :
Tomando o logaritmo natural:
Então, a equação da curva de nível que passa por é:

Passo 6

Agora que temos as duas equações das curvas de nível:
  1. Para :
  2. Para :
Vamos analisar essas retas:
  • Ambas têm a mesma inclinação, pois o coeficiente de e é o mesmo. Isso significa que são paralelas.
  • Podemos reescrever as equações na forma para facilitar o esboço.
Para :
Para :

Passo 7

Esboçando as curvas no plano :
  1. Curva de nível passando por :
    • Equação:
    • Pontos de referência:
      • Quando ,
      • Quando ,
  2. Curva de nível passando por :
    • Equação:
    • Pontos de referência:
      • Quando ,
      • Quando ,
As duas retas são paralelas e afloram diferentes valores constantes conforme a posição no eixo .

Resposta

As equações das curvas de nível são (passando por ) e (passando por ). Ambas são retas paralelas no plano conforme descrito acima.

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