Considere a função
, definida para todo
do plano, tal que
, e os pontos
e
. Lembre-se que são válidas as seguintes propriedades para as funções logarítmicas:
;
e se a,b
então
se, somente se,
. Ao responder as seguintes questões, justifique sempre sua resposta.
b)Obtenha uma equação para cada uma das duas curvas de nível de f que contêm, respectivamente, os pontos
e
e faça um esboço delas no plano xy.
b)Obtenha uma equação para cada uma das duas curvas de nível de f que contêm, respectivamente, os pontos
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
e três pontos no plano:
,
e
. A questão pede para a gente encontrar as equações das curvas de nível que passam pelos pontos
e
.
Matéria envolvida: A gente vai trabalhar com curvas de nível de funções de duas variáveis e propriedades de funções logarítmicas.
O que vamos precisar: Entender como encontrar curvas de nível, usar as propriedades do logaritmo para simplificar as equações e saber representar essas curvas no plano
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são curvas de nível. Para uma função
, uma curva de nível é o conjunto de pontos
onde a função assume um valor constante. Matematicamente, é definida por:
onde
é uma constante.
Passo 3
No nosso caso, a função é
. Então, uma curva de nível será:
Para facilitar, vamos resolver essa equação para
e
.
Passo 4
Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo, temos:
Então, a curva de nível é uma reta no plano
, dada por:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a equação das curvas de nível que passam por
e
.
Para
:
Substituímos
e
na equação
:
Tomando o logaritmo natural de ambos os lados:
Então, a equação da curva de nível que passa por
é:
Para
:
Substituímos
e
:
Tomando o logaritmo natural:
Então, a equação da curva de nível que passa por
é:
Passo 6
Agora que temos as duas equações das curvas de nível:
- Para
: - Para
:
Vamos analisar essas retas:
- Ambas têm a mesma inclinação, pois o coeficiente de
e é o mesmo. Isso significa que são paralelas. - Podemos reescrever as equações na forma
para facilitar o esboço.
Para
:
Para
:
Passo 7
Esboçando as curvas no plano
:
-
Curva de nível passando por
: - Equação:
- Pontos de referência:
- Quando
, - Quando
,
- Quando
- Equação:
-
Curva de nível passando por
: - Equação:
- Pontos de referência:
- Quando
, - Quando
,
- Quando
- Equação:
As duas retas são paralelas e afloram diferentes valores constantes conforme a posição no eixo
.
Resposta
As equações das curvas de nível são
(passando por
) e
(passando por
). Ambas são retas paralelas no plano
conforme descrito acima.