Considere a função . Escreva a equação reduzida das curvas de nível da função referentes aos níveis e e represente-as no mesmo plano cartesiano.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma função de duas variáveis, . O objetivo é encontrar as equações das curvas de nível para os valores e . Curvas de nível são linhas no plano onde a função assume um valor constante. Para resolver isso, precisaremos manipular a equação da função para expressar e em termos de .

Passo 2

Vamos começar encontrando a curva de nível para . Substituímos na equação da função:

Passo 3

Agora, para resolver essa equação, vamos aplicar o logaritmo natural dos dois lados. Lembrando que , temos:
Sabemos que , então:

Passo 4

Vamos isolar os termos positivos:
Essa equação representa uma curva de nível onde a soma dos quadrados de e é igual a zero. A única solução real para essa equação é:
Isso significa que a curva de nível para é apenas o ponto .

Passo 5

Agora, vamos encontrar a curva de nível para . Substituímos na equação da função:

Passo 6

Aplicando o logaritmo natural dos dois lados novamente:
Sabemos que , então:

Passo 7

Multiplicando todos os termos por -1 para simplificar:
Essa equação representa uma circunferência no plano com centro na origem e raio .

Resposta

As equações reduzidas das curvas de nível são:
  • Para : e (ponto único).
  • Para : .

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Determine os intervalos nos quais é crescente e nos quais é decrescente.