Considere a função
. Escreva a equação reduzida das curvas de nível da função
referentes aos níveis
e
e represente-as no mesmo plano cartesiano.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma função de duas variáveis,
. O objetivo é encontrar as equações das curvas de nível para os valores
e
. Curvas de nível são linhas no plano
onde a função assume um valor constante. Para resolver isso, precisaremos manipular a equação da função para expressar
e
em termos de
.
Passo 2
Vamos começar encontrando a curva de nível para
. Substituímos
na equação da função:
Passo 3
Agora, para resolver essa equação, vamos aplicar o logaritmo natural dos dois lados. Lembrando que
, temos:
Sabemos que
, então:
Passo 4
Vamos isolar os termos positivos:
Essa equação representa uma curva de nível onde a soma dos quadrados de
e
é igual a zero. A única solução real para essa equação é:
Isso significa que a curva de nível para
é apenas o ponto
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a curva de nível para
. Substituímos
na equação da função:
Passo 6
Aplicando o logaritmo natural dos dois lados novamente:
Sabemos que
, então:
Passo 7
Multiplicando todos os termos por -1 para simplificar:
Essa equação representa uma circunferência no plano
com centro na origem e raio
.
Resposta
As equações reduzidas das curvas de nível são:
- Para
: e (ponto único). - Para
: .
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Determine os intervalos nos quais
é crescente e nos quais é decrescente.