Mostre que cada uma das equações seguintes define implicitamente pelo menos uma função diferenciável
. Expresse
em termos de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação
. A tarefa é mostrar que essa equação define, de forma implícita, uma função diferenciável
. Além disso, precisamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
, ou seja,
e
, expressando-as em termos de
.
Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Função Implícita, que nos ajuda a determinar se uma equação define uma função de uma ou mais variáveis e também nos dá uma maneira de calcular as derivadas dessa função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema da Função Implícita. Ele diz que se temos uma equação
e se a derivada parcial de
em relação a
,
, não for zero em um ponto, então podemos resolver a equação para
como uma função diferenciável de
e
perto desse ponto.
No nosso caso,
. Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Precisamos que
. Ou seja:
Assim, enquanto
, a equação define
como uma função diferenciável de
e
.
Passo 3
Agora que sabemos que
pode ser expressa como
, vamos encontrar as derivadas parciais
e
. Para isso, vamos usar a Regra da Cadeia aplicada à equação
.
Primeiro, derivamos ambos os lados da equação em relação a
:
Isso dá:
Agora, vamos isolar
:
Fatorando
:
Finalmente, resolvendo para
:
Passo 4
De forma semelhante, vamos encontrar
. Derivamos a equação original em relação a
:
Isso resulta em:
Isolando
:
Fatorando
:
Resolvendo para
:
Resposta
A equação
define implicitamente uma função diferenciável
quando
. As derivadas parciais são dadas por:
e