Mostre que cada uma das equações seguintes define implicitamente pelo menos uma função diferenciável z=z(x, y). Expresse partial zpartial x e partial zpartial x em termos de x, y, z.
x^3+y^3+z^3=x+y+z

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação . A tarefa é mostrar que essa equação define, de forma implícita, uma função diferenciável . Além disso, precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e , ou seja, e , expressando-as em termos de .
Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Função Implícita, que nos ajuda a determinar se uma equação define uma função de uma ou mais variáveis e também nos dá uma maneira de calcular as derivadas dessa função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema da Função Implícita. Ele diz que se temos uma equação partial Fpartial z = 3z^2 - 1 e se a derivada parcial de 3z^2 - 1 neq 0 implies z^2 neq 13 em relação a , , não for zero em um ponto, então podemos resolver a equação para como uma função diferenciável de e perto desse ponto.
No nosso caso, . Vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Precisamos que . Ou seja:
Assim, enquanto , a equação define como uma função diferenciável de e .

Passo 3

Agora que sabemos que partialpartial x(x^3 + y^3 + z^3) = partialpartial x(x + y + z) pode ser expressa como 3x^2 + 0 + 3z^2partial zpartial x = 1 + 0 + partial zpartial x , vamos encontrar as derivadas parciais 3z^2partial zpartial x - partial zpartial x = 1 - 3x^2 e partial zpartial x(3z^2 - 1) = 1 - 3x^2 . Para isso, vamos usar a Regra da Cadeia aplicada à equação partial zpartial x = 1 - 3x^23z^2 - 1 .
Primeiro, derivamos ambos os lados da equação em relação a :
Isso dá:
Agora, vamos isolar :
Fatorando :
Finalmente, resolvendo para :

Passo 4

De forma semelhante, vamos encontrar partialpartial y(x^3 + y^3 + z^3) = partialpartial y(x + y + z) . Derivamos a equação original em relação a 0 + 3y^2 + 3z^2partial zpartial y = 0 + 1 + partial zpartial y :
3z^2partial zpartial y - partial zpartial y = 1 - 3y^2
Isso resulta em:
partial zpartial y(3z^2 - 1) = 1 - 3y^2
Isolando partial zpartial y = 1 - 3y^23z^2 - 1 :
Fatorando :
Resolvendo para :

Resposta

A equação partial zpartial x = 1 - 3x^23z^2 - 1 define implicitamente uma função diferenciável partial zpartial y = 1 - 3y^23z^2 - 1 quando . As derivadas parciais são dadas por:
e

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