Encontre a solução geral das seguintes equações:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial que você me passou. A questão envolve encontrar a solução geral da equação:
Vamos precisar usar o método do fator integrante, que é uma técnica eficiente para resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de uma forma que fique mais fácil de identificar os componentes necessários para aplicar o método do fator integrante. A equação está na forma:
Onde:
Passo 3
O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função que, quando multiplicada por toda a equação, nos permite escrever o lado esquerdo da equação como a derivada de um produto. O fator integrante
é dado por:
No nosso caso,
, então vamos calcular a integral:
Podemos desconsiderar a constante de integração
no fator integrante, então:
Passo 4
Agora, multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
Simplificando cada termo:
Sabemos que
, mas vamos reescrever a esquerda da equação de forma a facilitar a integração.
Passo 5
Com o fator integrante multiplicado, o lado esquerdo da equação deve se tornar a derivada do produto
. Portanto:
Isso simplifica a solução, pois agora temos uma equação onde apenas a derivada de
é igual a
.
Passo 6
Vamos integrar ambos os lados da equação:
O lado esquerdo simplesmente se torna:
Agora, precisamos calcular a integral
.
Passo 7
Para calcular
, usamos a integração por partes, onde:
Aplicando a fórmula de integração por partes
:
Então, temos:
Passo 8
Agora, resolvemos para
:
Simplificando:
Passo 9
Usamos a condição inicial
para encontrar a constante
. Quando
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Resolva a equação
.
Considere a função
. Escreva a equação reduzida das curvas de nível da função
referentes aos níveis
e
e represente-as no mesmo plano cartesiano.
Encontre a solução geral das seguintes equações: