Encontre a solução geral das seguintes equações:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial que você me passou. A questão envolve encontrar a solução geral da equação:
Vamos precisar usar o método do fator integrante, que é uma técnica eficiente para resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de uma forma que fique mais fácil de identificar os componentes necessários para aplicar o método do fator integrante. A equação está na forma:
Onde:

Passo 3

O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função que, quando multiplicada por toda a equação, nos permite escrever o lado esquerdo da equação como a derivada de um produto. O fator integrante é dado por:
No nosso caso, , então vamos calcular a integral:
Podemos desconsiderar a constante de integração no fator integrante, então:

Passo 4

Agora, multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :
Simplificando cada termo:
Sabemos que , mas vamos reescrever a esquerda da equação de forma a facilitar a integração.

Passo 5

Com o fator integrante multiplicado, o lado esquerdo da equação deve se tornar a derivada do produto . Portanto:
Isso simplifica a solução, pois agora temos uma equação onde apenas a derivada de é igual a .

Passo 6

Vamos integrar ambos os lados da equação:
O lado esquerdo simplesmente se torna:
Agora, precisamos calcular a integral .

Passo 7

Para calcular , usamos a integração por partes, onde:
Aplicando a fórmula de integração por partes :
Então, temos:

Passo 8

Agora, resolvemos para :
Simplificando:

Passo 9

Usamos a condição inicial para encontrar a constante . Quando :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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Resolva a equação .
Considere a função . Escreva a equação reduzida das curvas de nível da função referentes aos níveis e e represente-as no mesmo plano cartesiano.
Encontre a solução geral das seguintes equações: