Considere a função
(a) Determine uma equação do plano tangente à superfície no ponto
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
e precisa achar a equação do plano tangente nessa superfície no ponto
. Isso significa que queremos a reta que melhor “encaixa” na superfície naquele ponto específico. Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas parciais e a fórmula do plano tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o valor de
. Como
, substituímos
e
na função:
Então, o ponto de tangência é
.
Passo 3
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
, que vão nos ajudar a achar a inclinação do plano tangente nas direções dessas variáveis.
A derivada parcial de
em relação a
é:
A derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 4
Vamos avaliar essas derivadas no ponto
:
Passo 5
Com as derivadas parciais e o ponto conhecido, a equação do plano tangente é dada por:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Multiplicando todos os termos por 9 para eliminar os denominadores:
Finalmente, a equação do plano fica:
Resposta
A equação do plano tangente à superfície no ponto
é: