Considere a função
f(x, y) = x / (x + y)
(a) Determine uma equação do plano tangente à superfície no ponto (2, 1, z0)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisa achar a equação do plano tangente nessa superfície no ponto . Isso significa que queremos a reta que melhor “encaixa” na superfície naquele ponto específico. Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas parciais e a fórmula do plano tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor de . Como , substituímos e na função:
Então, o ponto de tangência é .

Passo 3

Agora, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e , que vão nos ajudar a achar a inclinação do plano tangente nas direções dessas variáveis.
A derivada parcial de em relação a é:
A derivada parcial de em relação a é:

Passo 4

Vamos avaliar essas derivadas no ponto :

Passo 5

Com as derivadas parciais e o ponto conhecido, a equação do plano tangente é dada por:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Multiplicando todos os termos por 9 para eliminar os denominadores:
Finalmente, a equação do plano fica:

Resposta

A equação do plano tangente à superfície no ponto é:

Exercícios relacionados