Uma curva tem seus pontos descritos pela equação . Determine os valores das abscissas dos pontos dessa curva em que a reta tangente à curva dada é horizontal.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma curva definida pela equação e precisamos encontrar os valores de (as abscissas) onde a reta tangente a essa curva é horizontal. Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente derivadas e retas tangentes.

Passo 2

Primeiro, pra achar onde a reta tangente é horizontal, a gente precisa descobrir onde a inclinação dessa reta (a derivada ) é igual a zero. Ou seja, vamos calcular a partir da equação dada.

Passo 3

Vamos diferenciar a equação em relação a . Lembrando que quando a gente tem em função de , usamos a regra da cadeia para derivar termos com .

Passo 4

Calculando cada derivada:
  • (usando a regra da cadeia)
  • (usando a regra do produto)
Então, temos:

Passo 5

Vamos organizar os termos que têm de um lado e os demais do outro:
Assim, isolando :

Passo 6

Para a reta tangente ser horizontal, a inclinação precisa ser zero. Ou seja:
Isso significa que o numerador deve ser igual a zero:

Passo 7

Vamos resolver essa equação para :
Então, naqueles pontos onde a tangente é horizontal, é igual a .

Passo 8

Agora, vamos substituir na equação original da curva para encontrar os valores de :

Passo 9

Resolvendo para :

Resposta

Os valores das abscissas dos pontos onde a reta tangente é horizontal são .

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