Uma curva tem seus pontos descritos pela equação
. Determine os valores das abscissas dos pontos dessa curva em que a reta tangente à curva dada é horizontal.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma curva definida pela equação
e precisamos encontrar os valores de
(as abscissas) onde a reta tangente a essa curva é horizontal. Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente derivadas e retas tangentes.
Passo 2
Primeiro, pra achar onde a reta tangente é horizontal, a gente precisa descobrir onde a inclinação dessa reta (a derivada
) é igual a zero. Ou seja, vamos calcular
a partir da equação dada.
Passo 3
Vamos diferenciar a equação
em relação a
. Lembrando que quando a gente tem
em função de
, usamos a regra da cadeia para derivar termos com
.
Passo 4
Calculando cada derivada:
-
(usando a regra da cadeia) -
-
(usando a regra do produto)
Então, temos:
Passo 5
Vamos organizar os termos que têm
de um lado e os demais do outro:
Assim, isolando
:
Passo 6
Para a reta tangente ser horizontal, a inclinação
precisa ser zero. Ou seja:
Isso significa que o numerador deve ser igual a zero:
Passo 7
Vamos resolver essa equação para
:
Então, naqueles pontos onde a tangente é horizontal,
é igual a
.
Passo 8
Agora, vamos substituir
na equação original da curva para encontrar os valores de
:
Passo 9
Resolvendo para
:
Resposta
Os valores das abscissas dos pontos onde a reta tangente é horizontal são
.
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