Resolva as equações diferenciais abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante. Nesse método, a gente encontra uma função que multiplica toda a equação para facilitar a solução.
Passo 2
Primeiro, identificamos os coeficientes da equação na forma padrão
. Aqui,
e
. O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é dado por
.
Passo 3
Calculando o fator integrante:
Esse fator será usado para multiplicar toda a equação original.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação pela
:
A equação fica assim:
.
Passo 5
Observamos que o lado esquerdo da equação é a derivada do produto
:
Então, integramos ambos os lados em relação a
.
Passo 6
Integrando:
Isso simplifica para:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora, resolvemos para
dividindo ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.
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Uma curva tem seus pontos descritos pela equação
. Determine os valores das abscissas dos pontos dessa curva em que a reta tangente à curva dada é horizontal.
Resolva as equações diferenciais abaixo:
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