Resolva as equações diferenciais abaixo: y' + y = e^x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante. Nesse método, a gente encontra uma função que multiplica toda a equação para facilitar a solução.

Passo 2

Primeiro, identificamos os coeficientes da equação na forma padrão . Aqui, e . O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é dado por .

Passo 3

Calculando o fator integrante:
Esse fator será usado para multiplicar toda a equação original.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação pela :
A equação fica assim: .

Passo 5

Observamos que o lado esquerdo da equação é a derivada do produto :
Então, integramos ambos os lados em relação a x.

Passo 6

Integrando:
Isso simplifica para:
onde C é a constante de integração.

Passo 7

Agora, resolvemos para y dividindo ambos os lados por e^x:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde C é uma constante arbitrária.

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