Considere a funçãy daḑa por
approx f(x, y)=rr 4 x yraizx^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 0, & (x, y)=(0,0)
Mostre que f é contínua no ponto P=(0,0). Justifique a sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos analisar o problema. A gente tem uma função f(x, y) = 4xyraizx^2 + y^2, & se (x, y) neq (0,0) 0, & se (x, y) = (0,0) definida por:
O objetivo é mostrar que essa função é contínua no ponto . Para isso, vamos precisar entender o conceito de limite de funções de duas variáveis e como ele se relaciona com a continuidade. Basicamente, se o limite de quando se aproxima de for igual ao valor da função nesse ponto, então a função é contínua no ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite de lim(x, y) to (0,0) 4xyraizx^2 + y^2 quando 4xyraizx^2 + y^2 = 4(rcostheta)(rsintheta)raizr^2cos^2theta + r^2sin^2theta = 4r^2costhetasinthetar = 4rcosthetasintheta se aproxima de . Ou seja, queremos encontrar:
Para facilitar, vamos converter para coordenadas polares, onde e . Nessa transformação, quando , .
Substituindo na função:

Passo 3

Agora, vamos analisar o limite de |4rcosthetasintheta| <= 4r cdot 1 cdot 1 = 4r quando limr to 0 4rcosthetasintheta = 0 . Sabemos que e são funções limitadas (entre -1 e 1), então:
Como , . Portanto, pelo Teorema do Envelopamento (ou Squeeze Theorem), temos:

Passo 4

Concluímos que:
lim(x, y) to (0,0) 4xyraizx^2 + y^2 = 0
Como o limite da função quando se aproxima de é igual ao valor da função no ponto , ou seja, , isso confirma que a função é contínua nesse ponto.

Resposta

A função é contínua no ponto porque o limite quando se aproxima de é igual ao valor da função nesse ponto.

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