Considere a funçãy daḑa por
Mostre que
é contínua no ponto
. Justifique a sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos analisar o problema. A gente tem uma função
definida por:
O objetivo é mostrar que essa função é contínua no ponto
. Para isso, vamos precisar entender o conceito de limite de funções de duas variáveis e como ele se relaciona com a continuidade. Basicamente, se o limite de
quando
se aproxima de
for igual ao valor da função nesse ponto, então a função é contínua no ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de
. Ou seja, queremos encontrar:
Para facilitar, vamos converter para coordenadas polares, onde
e
. Nessa transformação, quando
,
.
Substituindo na função:
Passo 3
Agora, vamos analisar o limite de
quando
. Sabemos que
e
são funções limitadas (entre -1 e 1), então:
Como
,
. Portanto, pelo Teorema do Envelopamento (ou Squeeze Theorem), temos:
Passo 4
Concluímos que:
Como o limite da função quando
se aproxima de
é igual ao valor da função no ponto
, ou seja,
, isso confirma que a função é contínua nesse ponto.
Resposta
A função
é contínua no ponto
porque o limite quando
se aproxima de
é igual ao valor da função nesse ponto.