lim (x, y) (0,-2) x(y+2)^2x^2+(y+2)^4

Passo 1

Vamos lá! A gente tem que calcular o limite da função x(y+2)^2x^2+(y+2)^4 quando (x, y) se aproxima de (0, -2). Isso envolve conceitos de cálculo de limites em funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar analisar como a função se comporta ao nos aproximarmos do ponto dado por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão substituindo y + 2 por uma nova variável, digamos h. Assim, h = y + 2 e, quando (x, y) (0, -2), temos que h 0. A função fica então:
x h^2x^2 + h^4

Passo 3

Agora, para verificar se o limite existe, precisamos ver se o resultado é o mesmo independentemente do caminho que usamos para nos aproximar de (0, -2). Vamos testar alguns caminhos diferentes.

Passo 4

Primeiro caminho: Vamos deixar h = 0 (ou seja, y = -2). Substituindo na função:
x cdot 0^2x^2 + 0^4 = 0x^2 = 0
Então, ao nos aproximarmos de (0, -2) com y = -2, o limite é 0.

Passo 5

Segundo caminho: Vamos deixar x = 0. Substituindo na função:
0 cdot h^20^2 + h^4 = 0h^4 = 0
Assim, ao nos aproximarmos com x = 0, o limite também é 0.

Passo 6

Terceiro caminho: Vamos considerar h = m raizx, onde m é uma constante. Substituindo na função:
x (m raizx)^2x^2 + (m raizx)^4 = x cdot m^2 xx^2 + m^4 x^2 = m^2 x^2x^2(1 + m^4) = m^21 + m^4
Aqui, vemos que o limite depende do valor de m. Ou seja, diferentes valores de m dão diferentes resultados para o limite.

Passo 7

Como o limite depende do caminho escolhido (diferentes valores de m produzem limites diferentes), concluímos que o limite não é o mesmo em todas as direções.

Resposta

O limite não existe.

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