Passo 1

Vamos lá! A gente tem que calcular o limite da função quando se aproxima de . Isso envolve conceitos de cálculo de limites em funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar analisar como a função se comporta ao nos aproximarmos do ponto dado por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão substituindo por uma nova variável, digamos . Assim, e, quando , temos que . A função fica então:

Passo 3

Agora, para verificar se o limite existe, precisamos ver se o resultado é o mesmo independentemente do caminho que usamos para nos aproximar de . Vamos testar alguns caminhos diferentes.

Passo 4

Primeiro caminho: Vamos deixar (ou seja, ). Substituindo na função:
Então, ao nos aproximarmos de com , o limite é 0.

Passo 5

Segundo caminho: Vamos deixar . Substituindo na função:
Assim, ao nos aproximarmos com , o limite também é 0.

Passo 6

Terceiro caminho: Vamos considerar , onde é uma constante. Substituindo na função:
Aqui, vemos que o limite depende do valor de . Ou seja, diferentes valores de dão diferentes resultados para o limite.

Passo 7

Como o limite depende do caminho escolhido (diferentes valores de produzem limites diferentes), concluímos que o limite não é o mesmo em todas as direções.

Resposta

O limite não existe.

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Considere a funçãy daḑa por
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Aplicando