Beleza, vamos lá! Você me pediu para encontrar a inversa da matriz usando o método de decomposição LU. A matéria envolvida aqui é Álgebra Linear, mais especificamente, decomposição de matrizes e cálculo de matrizes inversas. Para resolver isso, vamos precisar das matrizes e que já foram fornecidas, além da matriz de permutação .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma decomposição LU. Basicamente, qualquer matriz quadrada pode ser decomposta em duas matrizes: (triangular inferior) e (triangular superior), de forma que . No nosso caso, temos , , e (que é a matriz de permutação).
Passo 3
Como queremos encontrar a inversa de (), precisamos resolver a equação , onde é a matriz identidade. Mas usando a decomposição LU, isso fica mais fácil. Vamos resolver , onde será a nossa inversa .
Passo 4
Para resolver , fazemos isso em duas etapas:
Primeiro, resolvemos para .
Depois, resolvemos para .
Aqui, é a matriz de permutação que reorganiza as linhas da matriz original.
Passo 5
Começando com 1 & 2 & 3. Como y1 = 1 0.0333 y1 + y2 = 0 0.1 y1 - 0.0271 y2 + y3 = 0 é a matriz identidade, apenas reorganiza as linhas de conforme a matriz . No nosso caso, , que na verdade é a matriz identidade, então .
Então, resolvemos . Como é uma matriz triangular inferior, usamos substituição progressiva:
Resolvendo isso, encontramos os valores de .
Passo 6
Agora, com 10.0120 x3 = y3 7.0033 x2 - 0.2933 x3 = y2 3 x1 - 0.1 x2 - 0.2 x3 = y1 encontrado, resolvemos . Aqui, é uma matriz triangular superior, então usamos substituição regressiva:
Resolvendo essas equações, obtemos os valores de , que são as colunas da matriz inversa .
Passo 7
Depois de resolver todas as equações, organizamos os valores de para formar a matriz inversa . Lembre-se de arredondar cada elemento para 4 casas decimais, conforme solicitado.