• Encontre a inversa da matriz A usando o método de decomposição LU, use U e L dadas abaixo. Utilize 4 casas decimais.
y = sen(x^2)
y = sen(x^2)
Aplicando U = [[3, -0.1, -0.2], [0, 7.00333, -0.293333], [0, 0, 10.0120]] L = [[1, 0, 0], [0.0333333, 1, 0], [0.100000, -0.0271300, 1]]

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para encontrar a inversa da matriz usando o método de decomposição LU. A matéria envolvida aqui é Álgebra Linear, mais especificamente, decomposição de matrizes e cálculo de matrizes inversas. Para resolver isso, vamos precisar das matrizes e que já foram fornecidas, além da matriz de permutação .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma decomposição LU. Basicamente, qualquer matriz quadrada pode ser decomposta em duas matrizes: (triangular inferior) e (triangular superior), de forma que . No nosso caso, temos , , e (que é a matriz de permutação).

Passo 3

Como queremos encontrar a inversa de ( ), precisamos resolver a equação , onde é a matriz identidade. Mas usando a decomposição LU, isso fica mais fácil. Vamos resolver , onde será a nossa inversa .

Passo 4

Para resolver , fazemos isso em duas etapas:
  1. Primeiro, resolvemos para .
  2. Depois, resolvemos para .
Aqui, é a matriz de permutação que reorganiza as linhas da matriz original.

Passo 5

Começando com . Como é a matriz identidade, apenas reorganiza as linhas de conforme a matriz . No nosso caso, , que na verdade é a matriz identidade, então .
Então, resolvemos . Como é uma matriz triangular inferior, usamos substituição progressiva:
Resolvendo isso, encontramos os valores de .

Passo 6

Agora, com encontrado, resolvemos . Aqui, é uma matriz triangular superior, então usamos substituição regressiva:
Resolvendo essas equações, obtemos os valores de , que são as colunas da matriz inversa .

Passo 7

Depois de resolver todas as equações, organizamos os valores de para formar a matriz inversa . Lembre-se de arredondar cada elemento para 4 casas decimais, conforme solicitado.

Resposta

A inversa da matriz é:

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http://www.w3.org/2000/svg” width=“39.743ex” height=“7.001ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -1797.3 17566.6 3094.6”><title>f</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mo”><path data-c=“2248” d=“M55 319Q55 360 72 393T114 444T163 472T205 482Q207 482 213 482T223 483Q262 483 296 468T393 413L443 381Q502 346 553 346Q609 346 649 375T694 454Q694 465 698 474T708 483Q722 483 722 452Q722 386 675 338T555 289Q514 289 468 310T388 357T308 404T224 426Q164 426 125 393T83 318Q81 289 69 289Q55 289 55 319ZM55 85Q55 126 72 159T114 210T163 238T205 248Q207 248 213 248T223 249Q262 249 296 234T393 179L443 147Q502 112 553 112Q609 112 649 141T694 220Q694 249 708 249T722 217Q722 153 675 104T555 55Q514 55 468 76T388 123T308 170T224 192Q164 192 125 159T83 84Q80 55 69 55Q55 55 55 85Z”></path></g><g data-mml-node=“mi” transform=“translate(1055.8,0)”><path data-c=“1D453” d=“M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z”></path></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(1605.8,0)”><path data-c=“28” d=“M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z”></path></g><g data-mml-node=“mi” transform=“translate(1994.8,0)”><path data-c=“1D465” d=“M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z”></path></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(2566.8,0)”><path data-c=“2C” d=“M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 -158T130 -185T117 -194Q113 -194 104 -185T95 -172Q95 -168 106 -156T131 -126T157 -76T173 -3V9L172 8Q170 7 167 6T161 3T152 1T140 0Q113 0 96 17Z”></path></g><g data-mml-node=“mi” transform=“translate(3011.4,0)”><path data-c=“1D466” d=“M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z”></path></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(3501.4,0)”><path data-c=“29” d=“M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z”></path></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(4168.2,0)”><path data-c=“3D” d=“M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z”></path></g><g data-mml-node=“mrow” transform=“translate(5224,0)”><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(0 -0.5)”><path data-c=“7B” d=“M661 -1243L655 -1249H622L604 -1240Q503 -1190 434 -1107T348 -909Q346 -897 346 -499L345 -98L343 -82Q335 3 287 87T157 223Q146 232 145 236Q144 240 144 250Q144 265 145 268T157 278Q242 333 288 417T343 583L345 600L346 1001Q346 1398 348 1410Q379 1622 600 1739L622 1750H655L661 1744V1727V1721Q661 1712 661 1710T657 1705T648 1700T630 1690T602 1668Q589 1659 574 1643T531 1593T484 1508T459 1398Q458 1389 458 1001Q458 614 457 605Q441 435 301 316Q254 277 202 251L250 222Q260 216 301 185Q443 66 457 -104Q458 -113 458 -501Q458 -888 459 -897Q463 -944 478 -988T509 -1060T548 -1114T580 -1149T602 -1167Q620 -1183 634 -1192T653 -1202T659 -1207T661 -1220V-1226V-1243Z”></path></g><g data-mml-node=“mtable” transform=“translate(806,0)”><g data-mml-node=“mtr” transform=“translate(0,833.6)”><g data-mml-node=“mtd”><g data-mml-node=“mfrac”><g data-mml-node=“mrow” transform=“translate(987.6,485) scale(0.707)”><g data-mml-node=“mn”><path data-c=“34” d=“M462 0Q444 3 333 3Q217 3 199 0H190V46H221Q241 46 248 46T265 48T279 53T286 61Q287 63 287 115V165H28V211L179 442Q332 674 334 675Q336 677 355 677H373L379 671V211H471V165H379V114Q379 73 379 66T385 54Q393 47 442 46H471V0H462ZM293 211V545L74 212L183 211H293Z”></path></g><g data-mml-node=“mi” transform=“translate(500,0)”><path data-c=“1D465” d=“M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 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<div>Mostre que <span class="math-inline " data-overflow=“visible”>
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<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.566ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“9.745ex” height=“2.262ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -750 4307.2 1000”><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D443” d=“M287 628Q287 635 230 637Q206 637 199 638T192 648Q192 649 194 659Q200 679 203 681T397 683Q587 682 600 680Q664 669 707 631T751 530Q751 453 685 389Q616 321 507 303Q500 302 402 301H307L277 182Q247 66 247 59Q247 55 248 54T255 50T272 48T305 46H336Q342 37 342 35Q342 19 335 5Q330 0 319 0Q316 0 282 1T182 2Q120 2 87 2T51 1Q33 1 33 11Q33 13 36 25Q40 41 44 43T67 46Q94 46 127 49Q141 52 146 61Q149 65 218 339T287 628ZM645 554Q645 567 643 575T634 597T609 619T560 635Q553 636 480 637Q463 637 445 637T416 636T404 636Q391 635 386 627Q384 621 367 550T332 412T314 344Q314 342 395 342H407H430Q542 342 590 392Q617 419 631 471T645 554Z”></path></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(1028.8,0)”><path data-c=“3D” d=“M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z”></path></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(2084.6,0)”><path data-c=“28” d=“M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z”></path></g><g data-mml-node=“mn” transform=“translate(2473.6,0)”><path data-c=“30” d=“M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z”></path></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(2973.6,0)”><path data-c=“2C” d=“M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 -158T130 -185T117 -194Q113 -194 104 -185T95 -172Q95 -168 106 -156T131 -126T157 -76T173 -3V9L172 8Q170 7 167 6T161 3T152 1T140 0Q113 0 96 17Z”></path></g><g data-mml-node=“mn” transform=“translate(3418.2,0)”><path data-c=“30” d=“M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z”></path></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(3918.2,0)”><path data-c=“29” d=“M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z”></path></g></g></g></svg></mjx-container></span>. Justifique a sua resposta.</div>
</body></html>
Utilize o teste dos caminhos para provar a não existencia dos seguintes limites:
Utilize o teste dos caminhos para provar a não existencia dos seguintes limites: