• Encontre a inversa da matriz A usando o método de decomposição LU, use U e L dadas abaixo. Utilize 4 casas decimais.
[A]=[ccc 3 & -0.1 & -0.2 0.1 & 7 & -0.3 0.3 & -0.2 & 10 ]
[U]=[ccc3 & -0.1 & -0.2 0 & 7.00333 & -0.293333 0 & 0 & 10.0120] [L]=[ccc1 & 0 & 0 0.0333333 & 1 & 0 0.100000 & -0.0271300 & 1]
Aplicando P=[lll1 & 2 & 3]

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para encontrar a inversa da matriz usando o método de decomposição LU. A matéria envolvida aqui é Álgebra Linear, mais especificamente, decomposição de matrizes e cálculo de matrizes inversas. Para resolver isso, vamos precisar das matrizes e que já foram fornecidas, além da matriz de permutação .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma decomposição LU. Basicamente, qualquer matriz quadrada pode ser decomposta em duas matrizes: (triangular inferior) e (triangular superior), de forma que . No nosso caso, temos , , e (que é a matriz de permutação).

Passo 3

Como queremos encontrar a inversa de ( ), precisamos resolver a equação , onde é a matriz identidade. Mas usando a decomposição LU, isso fica mais fácil. Vamos resolver , onde será a nossa inversa .

Passo 4

Para resolver , fazemos isso em duas etapas:
  1. Primeiro, resolvemos para .
  2. Depois, resolvemos para .
Aqui, é a matriz de permutação que reorganiza as linhas da matriz original.

Passo 5

Começando com 1 & 2 & 3. Como y1 = 1 0.0333 y1 + y2 = 0 0.1 y1 - 0.0271 y2 + y3 = 0 é a matriz identidade, apenas reorganiza as linhas de conforme a matriz . No nosso caso, , que na verdade é a matriz identidade, então .
Então, resolvemos . Como é uma matriz triangular inferior, usamos substituição progressiva:
Resolvendo isso, encontramos os valores de .

Passo 6

Agora, com 10.0120 x3 = y3 7.0033 x2 - 0.2933 x3 = y2 3 x1 - 0.1 x2 - 0.2 x3 = y1 encontrado, resolvemos . Aqui, é uma matriz triangular superior, então usamos substituição regressiva:
Resolvendo essas equações, obtemos os valores de , que são as colunas da matriz inversa .

Passo 7

Depois de resolver todas as equações, organizamos os valores de para formar a matriz inversa . Lembre-se de arredondar cada elemento para 4 casas decimais, conforme solicitado.

Resposta

A inversa da matriz A^-1 = 0.3333 & 0.0048 & 0.0060 0.0048 & 0.1429 & 0.0043 0.0060 & 0.0043 & 0.0999 é:

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