Considere a funçio f(x) = sec(x). Determine o domínio e a imagem? Onde está injetora? Esboça o gráfico dela.

Passo 1

Beleza, o problema pede pra gente analisar a função . Vamos determinar o domínio (os valores de que a função aceita), a imagem (os valores que a função pode assumir), ver onde a função é injetora (onde ela não se repete) e ainda esboçar o gráfico dessa função. Pra isso, vamos precisar lembrar o que é a função secante e como ela se relaciona com a função cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o domínio da função . Sabemos que . Então, a função está definida sempre que , porque não dá pra dividir por zero. A função cosseno é zero em , onde é qualquer inteiro. Então, o domínio de é todos os reais menos esses pontos:
í

Passo 3

Agora, vamos encontrar a imagem da função . Sabemos que varia entre -1 e 1. Como , os valores de vão além de 1 ou menos de -1. Ou seja, a imagem é:

Passo 4

Sobre onde a função é injetora, a função é injetora em intervalos onde ela é estritamente crescente ou decrescente. Observando o gráfico, vemos que entre e , é crescente, e entre e , é decrescente, e assim por diante. Portanto, em cada intervalo de onde a função não tem assíntotas, ela é injetora.

Passo 5

Para esboçar o gráfico de , lembramos que é o inverso da função cosseno. Isso significa que onde o cosseno tem seus pontos máximos e mínimos (1 e -1), a secante respectivamente atinge 1 e -1. Perto dos pontos onde , a secante vai para infinito positivo ou negativo, criando assíntotas verticais. O gráfico vai se repetir a cada radianos, já que a função é periódica com período .

Resposta

  • Domínio:
  • Imagem:
  • Injetora: Em cada intervalo de radianos onde a função está definida, ou seja, entre as assíntotas e para qualquer inteiro .
  • Gráfico: Apresenta assíntotas verticais nas linhas e repete seu padrão a cada radianos, com ramos que se estendem para e além dos limites de 1 e -1.

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Seja c in R tal que
lim x 1 2 x^3-c x+c-2x^2+x-2=c
Determine c, justificando cada passagem.