Considere a funçio
. Determine o domínio e a imagem? Onde está injetora? Esboça o gráfico dela.
Passo 1
Beleza, o problema pede pra gente analisar a função
. Vamos determinar o domínio (os valores de
que a função aceita), a imagem (os valores que a função pode assumir), ver onde a função é injetora (onde ela não se repete) e ainda esboçar o gráfico dessa função. Pra isso, vamos precisar lembrar o que é a função secante e como ela se relaciona com a função cosseno.
Passo 2
Primeiro, vamos achar o domínio da função
. Sabemos que
. Então, a função está definida sempre que
, porque não dá pra dividir por zero. A função cosseno é zero em
, onde
é qualquer inteiro. Então, o domínio de
é todos os reais menos esses pontos:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a imagem da função
. Sabemos que
varia entre -1 e 1. Como
, os valores de
vão além de 1 ou menos de -1. Ou seja, a imagem é:
Passo 4
Sobre onde a função é injetora, a função
é injetora em intervalos onde ela é estritamente crescente ou decrescente. Observando o gráfico, vemos que entre
e
,
é crescente, e entre
e
, é decrescente, e assim por diante. Portanto, em cada intervalo de
onde a função não tem assíntotas, ela é injetora.
Passo 5
Para esboçar o gráfico de
, lembramos que é o inverso da função cosseno. Isso significa que onde o cosseno tem seus pontos máximos e mínimos (1 e -1), a secante respectivamente atinge 1 e -1. Perto dos pontos onde
, a secante vai para infinito positivo ou negativo, criando assíntotas verticais. O gráfico vai se repetir a cada
radianos, já que a função é periódica com período
.
Resposta
- Domínio:
- Imagem:
- Injetora: Em cada intervalo de
radianos onde a função está definida, ou seja, entre as assíntotas e para qualquer inteiro . - Gráfico: Apresenta assíntotas verticais nas linhas
e repete seu padrão a cada radianos, com ramos que se estendem para e além dos limites de 1 e -1.
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Seja
tal que
Determine
, justificando cada passagem.