Seja
tal que
Determine
, justificando cada passagem.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos o limite quando
se aproxima de 1 da função
e esse limite deve ser igual a
. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre limites de funções racionais, fatoração de polinômios e como determinar valores que fazem o limite existir.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o denominador da fração:
. Para simplificar a expressão, precisamos fatorar esse polinômio. Vamos procurar dois números que multiplicados dão -2 e somados dão 1. Esses números são 2 e -1. Assim, podemos fatorar o denominador como:
Passo 3
Agora, substituímos
no denominador fatorado para ver o que acontece:
Isso significa que, quando
se aproxima de 1, o denominador se aproxima de 0. Para que o limite exista e seja igual a
, o numerador também deve se aproximar de 0 quando
se aproxima de 1. Vamos verificar o numerador substituindo
:
Isso confirma que o numerador também se aproxima de 0. Portanto, podemos aplicar a regra de L’Hôpital ou fatorar o numerador.
Passo 4
Vamos optar por fatorar o numerador para simplificar. Sabemos que
é uma raiz tanto do numerador quanto do denominador, então
é um fator comum. Vamos fatorar o numerador
.
Para fatorar, podemos supor que
é um fator e dividir o polinômio por
. Utilizando a divisão polinomial ou o método de fatoração, encontramos:
Passo 5
Agora, podemos reescrever a fração original substituindo os fatores:
Como
(já que estamos considerando o limite), podemos simplificar
nos numerador e denominador.
Passo 6
Agora, calculamos o limite da expressão simplificada quando
se aproxima de 1:
Substituindo
:
Esse limite deve ser igual a
, conforme a condição dada.
Passo 7
Então, temos a equação:
Vamos resolver para
:
Resposta
O valor de
que satisfaz a condição dada é
.
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