Seja c in R tal que
lim x 1 2 x^3-c x+c-2x^2+x-2=c
Determine c, justificando cada passagem.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos o limite quando 2x^3 - c x + c - 2x^2 + x - 2 se aproxima de 1 da função
e esse limite deve ser igual a . Para resolver isso, vamos precisar entender sobre limites de funções racionais, fatoração de polinômios e como determinar valores que fazem o limite existir.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o denominador da fração: x^2 + x - 2 = (x - 1)(x + 2) . Para simplificar a expressão, precisamos fatorar esse polinômio. Vamos procurar dois números que multiplicados dão -2 e somados dão 1. Esses números são 2 e -1. Assim, podemos fatorar o denominador como:

Passo 3

Agora, substituímos (1 - 1)(1 + 2) = 0 times 3 = 0 no denominador fatorado para ver o que acontece:
2(1)^3 - c(1) + c - 2 = 2 - c + c - 2 = 0
Isso significa que, quando se aproxima de 1, o denominador se aproxima de 0. Para que o limite exista e seja igual a , o numerador também deve se aproximar de 0 quando se aproxima de 1. Vamos verificar o numerador substituindo :
Isso confirma que o numerador também se aproxima de 0. Portanto, podemos aplicar a regra de L’Hôpital ou fatorar o numerador.

Passo 4

Vamos optar por fatorar o numerador para simplificar. Sabemos que 2x^3 - c x + c - 2 = (x - 1)(2x^2 + 2x + 2 - c) é uma raiz tanto do numerador quanto do denominador, então é um fator comum. Vamos fatorar o numerador .
Para fatorar, podemos supor que é um fator e dividir o polinômio por . Utilizando a divisão polinomial ou o método de fatoração, encontramos:

Passo 5

Agora, podemos reescrever a fração original substituindo os fatores:
(x - 1)(2x^2 + 2x + 2 - c)(x - 1)(x + 2) = 2x^2 + 2x + 2 - cx + 2
Como (já que estamos considerando o limite), podemos simplificar nos numerador e denominador.

Passo 6

Agora, calculamos o limite da expressão simplificada quando limx to 1 2x^2 + 2x + 2 - cx + 2 se aproxima de 1:
2(1)^2 + 2(1) + 2 - c1 + 2 = 2 + 2 + 2 - c3 = 6 - c3 = 2 - c3
Substituindo :
Esse limite deve ser igual a , conforme a condição dada.

Passo 7

Então, temos a equação:
2 - c3 = c
Vamos resolver para 2 = c + c3 2 = 4c3 c = 3 times 24 c = 64 c = 32 :

Resposta

O valor de que satisfaz a condição dada é .

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