Estudiar la continuidad de las siguientes funciones realizando un cambio a coordenadas polares:

Passo 1

Beleza, vamos estudar a continuidade da função dada por:
O conteúdo que vamos usar aqui é a continuidade de funções de duas variáveis. Para analisar isso, vamos trocar para coordenadas polares, que facilita o estudo do comportamento da função perto da origem.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funcionam as coordenadas polares. Em vez de usar e , usamos e , onde:
Aqui, é a distância da origem até o ponto e é o ângulo que o ponto faz com o eixo .

Passo 3

Vamos reescrever a função em termos de e :
Para :
Note que cancela, deixando apenas . Para , .

Passo 4

Agora, vamos analisar o limite de quando se aproxima de , ou seja, quando tende a 0:
Observe que o limite depende de . Isso significa que, dependendo do ângulo pelo qual nos aproximamos da origem, o valor de pode variar. Por exemplo:
  • Se ou , .
  • Se ou , .
Como o limite não é o mesmo para todos os caminhos (valores de ), o limite geral não existe.

Resposta

Portanto, a função não é contínua em porque o limite depende do caminho seguido para chegar à origem.

Exercícios relacionados

Considere . Se pide:
Determine, si es posible, el límite a lo largo de la parábola .
Considere la función f definida por
Estudie a través de una trayectoria conveniente. ¿Qué concluye?
Si , halle:
Probar que los siguientes límites no existen: