Estudiar la continuidad de las siguientes funciones realizando un cambio a coordenadas polares:
Passo 1
Beleza, vamos estudar a continuidade da função
dada por:
O conteúdo que vamos usar aqui é a continuidade de funções de duas variáveis. Para analisar isso, vamos trocar para coordenadas polares, que facilita o estudo do comportamento da função perto da origem.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funcionam as coordenadas polares. Em vez de usar
e
, usamos
e
, onde:
Aqui,
é a distância da origem até o ponto
e
é o ângulo que o ponto faz com o eixo
.
Passo 3
Vamos reescrever a função
em termos de
e
:
Para
:
Note que
cancela, deixando apenas
. Para
,
.
Passo 4
Agora, vamos analisar o limite de
quando
se aproxima de
, ou seja, quando
tende a 0:
Observe que o limite depende de
. Isso significa que, dependendo do ângulo pelo qual nos aproximamos da origem, o valor de
pode variar. Por exemplo:
- Se
ou , . - Se
ou , .
Como o limite não é o mesmo para todos os caminhos (valores de
), o limite geral não existe.
Resposta
Portanto, a função
não é contínua em
porque o limite depende do caminho seguido para chegar à origem.
Exercícios relacionados
Considere
. Se pide:
Determine, si es posible, el límite a lo largo de la parábola .
Determine, si es posible, el límite a lo largo de la parábola
Considere la función f definida por
Estudie a través de una trayectoria conveniente. ¿Qué concluye?
Estudie
Si
, halle:
Probar que los siguientes límites no existen: