Considere as funções abaixo e determine, para cada uma delas, quando existir: a. Pontos críticos; b. Pontos de máximos/mínimos, c. Analise a concavidade, d. Esboce o gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que analisar a função
. O que precisamos fazer é:
a. Encontrar os pontos críticos da função.
b. Identificar os pontos de máximos e mínimos.
c. Analisar a concavidade da função.
d. Esboçar o gráfico com base nas informações encontradas.
b. Identificar os pontos de máximos e mínimos.
c. Analisar a concavidade da função.
d. Esboçar o gráfico com base nas informações encontradas.
Para isso, vamos precisar usar derivadas: a primeira para encontrar os pontos críticos e identificar máximos/minimos, e a segunda para entender a concavidade da função.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de
, que é essencial para encontrar os pontos críticos. A derivada nos dá a inclinação da função em cada ponto.
A derivada de
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos. São os valores de
onde a primeira derivada é igual a zero ou não existe.
Resolvendo
:
Podemos fatorar:
Então,
Isso nos dá:
Portanto,
Então, os pontos críticos são
,
e
.
Passo 4
Agora, vamos determinar se cada ponto crítico é um máximo, mínimo ou ponto de inflexão. Para isso, podemos usar o teste da segunda derivada.
Vamos calcular a segunda derivada de
:
Agora, avaliaremos
nos pontos críticos.
- Em
:
Como
,
é um ponto de mínimo.
- Em
:
Como
,
é um ponto de máximo.
- Em
:
Como
,
é um ponto de mínimo.
Passo 5
Vamos agora analisar a concavidade da função usando a segunda derivada
.
- Se
, a função é côncava para cima (forma de “sorriso”). - Se
, a função é côncava para baixo (forma de “urro”).
Vamos encontrar os pontos onde a concavidade muda, resolvendo
:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, os pontos de inflexão são
e
.
Entre esses pontos, a concavidade da função muda de côncava para cima para côncava para baixo ou vice-versa.
Passo 6
Finalmente, vamos esboçar o gráfico da função usando as informações obtidas:
- Pontos críticos:
(mínimo), (máximo), (mínimo). - Concavidade: muda em
. - A função é um polinômio de grau 4 com coeficiente líder positivo, então tende para
quando . - Intercepta o eixo
em .
Com isso, o gráfico terá duas “curvas” de mínimo, uma “curva” de máximo e pontos de inflexão onde a concavidade muda.
Resposta
Os pontos críticos da função
ocorrem em
(mínimo),
(máximo) e
(mínimo). A concavidade da função muda nos pontos de inflexão
e
. Com base nisso, o gráfico apresenta dois mínimos, um máximo e pontos onde a concavidade inverte, formando uma curva semelhante a duas “curvas de U” conectadas.
Exercícios relacionados
Mostre que a função
é solução da equação
.
Considere as funções abaixo e determine, para cada uma delas, quando existir: a. Pontos críticos; b. Pontos de máximos/mínimos, c. Analise a concavidade, d. Esboce o gráfico.
Obtenha a derivada de cada função a seguir:
Obtenha a derivada das funções abaixo: