Considere as funções abaixo e determine, para cada uma delas, quando existir: a. Pontos críticos; b. Pontos de máximos/mínimos, c. Analise a concavidade, d. Esboce o gráfico.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que analisar a função . O que precisamos fazer é:
a. Encontrar os pontos críticos da função.
b. Identificar os pontos de máximos e mínimos.
c. Analisar a concavidade da função.
d. Esboçar o gráfico com base nas informações encontradas.
Para isso, vamos precisar usar derivadas: a primeira para encontrar os pontos críticos e identificar máximos/minimos, e a segunda para entender a concavidade da função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de , que é essencial para encontrar os pontos críticos. A derivada nos dá a inclinação da função em cada ponto.
A derivada de é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos. São os valores de onde a primeira derivada é igual a zero ou não existe.
Resolvendo :
Podemos fatorar:
Então,
Isso nos dá:
Portanto,
Então, os pontos críticos são , e .

Passo 4

Agora, vamos determinar se cada ponto crítico é um máximo, mínimo ou ponto de inflexão. Para isso, podemos usar o teste da segunda derivada.
Vamos calcular a segunda derivada de :
Agora, avaliaremos nos pontos críticos.
  1. Em :
Como , é um ponto de mínimo.
  1. Em :
Como , é um ponto de máximo.
  1. Em :
Como , é um ponto de mínimo.

Passo 5

Vamos agora analisar a concavidade da função usando a segunda derivada .
  • Se , a função é côncava para cima (forma de “sorriso”).
  • Se , a função é côncava para baixo (forma de “urro”).
Vamos encontrar os pontos onde a concavidade muda, resolvendo :
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, os pontos de inflexão são e .
Entre esses pontos, a concavidade da função muda de côncava para cima para côncava para baixo ou vice-versa.

Passo 6

Finalmente, vamos esboçar o gráfico da função usando as informações obtidas:
  • Pontos críticos: (mínimo), (máximo), (mínimo).
  • Concavidade: muda em .
  • A função é um polinômio de grau 4 com coeficiente líder positivo, então tende para quando .
  • Intercepta o eixo em .
Com isso, o gráfico terá duas “curvas” de mínimo, uma “curva” de máximo e pontos de inflexão onde a concavidade muda.

Resposta

Os pontos críticos da função ocorrem em (mínimo), (máximo) e (mínimo). A concavidade da função muda nos pontos de inflexão e . Com base nisso, o gráfico apresenta dois mínimos, um máximo e pontos onde a concavidade inverte, formando uma curva semelhante a duas “curvas de U” conectadas.

Exercícios relacionados

Mostre que a função é solução da equação .
Considere as funções abaixo e determine, para cada uma delas, quando existir: a. Pontos críticos; b. Pontos de máximos/mínimos, c. Analise a concavidade, d. Esboce o gráfico.
Obtenha a derivada de cada função a seguir:
Obtenha a derivada das funções abaixo: