Considere as funções abaixo e determine, para cada uma delas, quando existir: a. Pontos críticos; b. Pontos de máximos/mínimos, c. Analise a concavidade, d. Esboce o gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui. A função que estamos analisando é
. O que a gente precisa descobrir é:
a. Pontos críticos: onde a derivada da função é zero ou não existe.
b. Pontos de máximos/mínimos: usando os pontos críticos, vamos ver onde a função atinge os valores mais altos (máximos) ou mais baixos (mínimos).
c. Concavidade: vamos ver como o gráfico da função está curvado para cima ou para baixo.
d. Esboço do gráfico: com todas essas informações, vamos desenhar o gráfico da função.
Para isso, vamos precisar usar derivadas primeiro e depois analisar os resultados. Vamos passo a passo!
Passo 2
Encontrando os Pontos Críticos
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função
. Vamos usar a regra do quociente, que é útil quando temos uma função dividida por outra.
A regra do quociente diz que se temos
, então:
Aqui,
e
.
Primeiro, vamos encontrar as derivadas de
e
:
Agora, aplicando a regra do quociente:
Os pontos críticos ocorrem onde
ou onde
não existe. Neste caso, o denominador
nunca é zero, então só precisamos resolver
:
Então, os pontos críticos estão em
e
.
Passo 3
Determinação dos Pontos de Máximos e Mínimos
Agora que temos os pontos críticos
e
, vamos descobrir se esses pontos são máximos, mínimos ou pontos de inflexão. Para isso, podemos usar o Teste da Segunda Derivada.
Primeiro, vamos encontrar a segunda derivada
.
Já sabemos que:
Para encontrar
, vamos derivar
. Usamos novamente a regra do quociente:
Aplicando a regra do quociente, onde
e
:
Agora:
Agora, avaliamos
nos pontos críticos:
- Para
:
Como
, isso indica que
é um ponto de máximo local.
- Para
:
Como
, isso indica que
é um ponto de mínimo local.
Passo 4
Análise da Concavidade
Para entender como a função está curvada, vamos analisar a segunda derivada
.
A concavidade depende do sinal de
:
- Se
, a função é côncava para cima. - Se
, a função é côncava para baixo.
Vamos determinar onde isso acontece:
- Intervalos onde
:
Analisando os fatores:
-
quando . -
quando .
Então,
quando:
-
ou .
- Intervalos onde
:
Isso ocorre quando:
-
ou .
Pontos de inflexão: São os pontos onde a concavidade muda, ou seja, onde
ou não existe. Aqui, resolvemos
:
Portanto, os pontos de inflexão estão em
,
, e
.
Passo 5
Esboço do Gráfico
Com todas as informações obtidas, vamos esboçar o gráfico da função
.
-
Pontos Críticos e Máximos/Mínimos:
- Máximo local em
. - Mínimo local em
.
- Máximo local em
-
Concavidade:
- Côncava para cima quando
. - Côncava para baixo quando
.
- Côncava para cima quando
-
Pontos de Inflexão:
- Em
, , e .
- Em
-
Comportamento para
: - Quando
cresce para mais ou menos infinito, tende a zero, já que o grau do denominador é maior que o numerador.
- Quando
-
Interseções:
- A função passa pela origem
.
- A função passa pela origem
Desenhando o Gráfico:
- Marque os pontos críticos e de inflexão no gráfico.
- Desenhe as curvas de concavidade nos intervalos determinados.
- Assegure-se de que a função se aproxime de zero quando
vai para . - Conecte tudo de forma suave, respeitando os máximos, mínimos e a concavidade.
Nota: Para um esboço mais preciso, você pode calcular alguns valores adicionais de
em diferentes pontos e plotar no gráfico.
Resposta
Após analisar a função
, concluímos que:
a. Pontos críticos:
e
.
b. Pontos de máximos/mínimos:
- Máximo local em
. - Mínimo local em
.
c. Concavidade:
- Côncava para cima quando
ou . - Côncava para baixo quando
.
d. Esboço do gráfico: O gráfico apresenta um máximo local em
, um mínimo local em
, e pontos de inflexão em
e
, com a função se aproximando de zero quando
tende a
.
Exercícios relacionados
Responda: Quando uma sequência converge e quando ela diverge?
Determine intervalos de crescimento e decrescimento da função
.
Responda: Como o conceito de sequência define quando uma série converge ou diverge?
Mostrar que:
.