Considere as funções abaixo e determine, para cada uma delas, quando existir: a. Pontos críticos; b. Pontos de máximos/mínimos, c. Analise a concavidade, d. Esboce o gráfico.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui. A função que estamos analisando é . O que a gente precisa descobrir é:
a. Pontos críticos: onde a derivada da função é zero ou não existe.
b. Pontos de máximos/mínimos: usando os pontos críticos, vamos ver onde a função atinge os valores mais altos (máximos) ou mais baixos (mínimos).
c. Concavidade: vamos ver como o gráfico da função está curvado para cima ou para baixo.
d. Esboço do gráfico: com todas essas informações, vamos desenhar o gráfico da função.
Para isso, vamos precisar usar derivadas primeiro e depois analisar os resultados. Vamos passo a passo!

Passo 2

Encontrando os Pontos Críticos
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função . Vamos usar a regra do quociente, que é útil quando temos uma função dividida por outra.
A regra do quociente diz que se temos , então:
Aqui, e .
Primeiro, vamos encontrar as derivadas de e :
Agora, aplicando a regra do quociente:
Os pontos críticos ocorrem onde ou onde não existe. Neste caso, o denominador nunca é zero, então só precisamos resolver :
Então, os pontos críticos estão em e .

Passo 3

Determinação dos Pontos de Máximos e Mínimos
Agora que temos os pontos críticos e , vamos descobrir se esses pontos são máximos, mínimos ou pontos de inflexão. Para isso, podemos usar o Teste da Segunda Derivada.
Primeiro, vamos encontrar a segunda derivada .
Já sabemos que:
Para encontrar , vamos derivar . Usamos novamente a regra do quociente:
Aplicando a regra do quociente, onde e :
Agora:
Agora, avaliamos nos pontos críticos:
  1. Para :
Como , isso indica que é um ponto de máximo local.
  1. Para :
Como , isso indica que é um ponto de mínimo local.

Passo 4

Análise da Concavidade
Para entender como a função está curvada, vamos analisar a segunda derivada .
A concavidade depende do sinal de :
  • Se , a função é côncava para cima.
  • Se , a função é côncava para baixo.
Vamos determinar onde isso acontece:
  1. Intervalos onde :
Analisando os fatores:
  • quando .
  • quando .
Então, quando:
  • ou .
  1. Intervalos onde :
Isso ocorre quando:
  • ou .
Pontos de inflexão: São os pontos onde a concavidade muda, ou seja, onde ou não existe. Aqui, resolvemos :
Portanto, os pontos de inflexão estão em , , e .

Passo 5

Esboço do Gráfico
Com todas as informações obtidas, vamos esboçar o gráfico da função .
  1. Pontos Críticos e Máximos/Mínimos:
    • Máximo local em .
    • Mínimo local em .
  2. Concavidade:
    • Côncava para cima quando .
    • Côncava para baixo quando .
  3. Pontos de Inflexão:
    • Em , , e .
  4. Comportamento para :
    • Quando cresce para mais ou menos infinito, tende a zero, já que o grau do denominador é maior que o numerador.
  5. Interseções:
    • A função passa pela origem .
Desenhando o Gráfico:
  • Marque os pontos críticos e de inflexão no gráfico.
  • Desenhe as curvas de concavidade nos intervalos determinados.
  • Assegure-se de que a função se aproxime de zero quando vai para .
  • Conecte tudo de forma suave, respeitando os máximos, mínimos e a concavidade.
Nota: Para um esboço mais preciso, você pode calcular alguns valores adicionais de em diferentes pontos e plotar no gráfico.

Resposta

Após analisar a função , concluímos que:
a. Pontos críticos: e .
b. Pontos de máximos/mínimos:
  • Máximo local em .
  • Mínimo local em .
c. Concavidade:
  • Côncava para cima quando ou .
  • Côncava para baixo quando .
d. Esboço do gráfico: O gráfico apresenta um máximo local em , um mínimo local em , e pontos de inflexão em e , com a função se aproximando de zero quando tende a .

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Determine intervalos de crescimento e decrescimento da função .
Responda: Como o conceito de sequência define quando uma série converge ou diverge?
Mostrar que: .