Responda: Quando uma sequência converge e quando ela diverge?

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a pergunta está pedindo. Queremos saber quando uma sequência converge e quando ela diverge. Para isso, vamos usar conceitos básicos de matemática sobre sequências numéricas e seus comportamentos à medida que vão aumentando os termos.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre convergência. Uma sequência converge quando os seus termos se aproximam cada vez mais de um certo número à medida que avançamos na sequência. Esse número é chamado de limite da sequência. Por exemplo, na sequência , conforme cresce, os termos vão ficando mais próximos de 0. Então, dizemos que essa sequência converge para 0.

Passo 3

Agora, vamos entender a divergência. Uma sequência diverge quando não se aproxima de nenhum número específico. Isso pode acontecer de algumas formas:
  • Crescendo sem limites: Por exemplo, cresce indefinidamente e não se aproxima de nenhum número fixo.
  • Oscilando: Como na sequência , que alterna entre -1 e 1 sem se fixar em nenhum valor.
  • Não tendo padrão: Sequências sem um comportamento claro também divergem.

Passo 4

Para determinar se uma sequência converge ou diverge, podemos aplicar o teste do limite:
  • Calculamos o limite de quando tende ao infinito.
  • Se esse limite existe e é um número finito, a sequência converge.
  • Se o limite é infinito ou não existe, a sequência diverge.
Por exemplo:
  • Para , simplificando dá . Conforme cresce, vai para 0, então o limite é 2. A sequência converge para 2.
  • Para , o limite não existe porque alterna entre -1 e 1. Então, a sequência diverge.

Resposta

Uma sequência converge quando seus termos se aproximam de um número específico (o limite) conforme avançamos na sequência. Ela diverge quando não se aproxima de nenhum valor fixo, seja crescendo sem limites, oscilando ou não tendo um padrão definido.

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