Responda: Como o conceito de sequência define quando uma série converge ou diverge?
Passo 1
Beleza! A questão está perguntando como o conceito de sequência ajuda a definir quando uma série converge ou diverge. Vamos falar sobre séries matemáticas e como a ideia de sequência entra nessa história para entender se a série se soma para um valor específico ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma série. Uma série é a soma de uma sequência de termos, tipo
. Agora, para entender se essa soma dá certo (converge) ou não (diverge), observamos as sequências de somas parciais.
Passo 3
O que são somas parciais? Imagine que você começa a somar os termos da série um por um:
- A soma parcial
- A soma parcial
- A soma parcial
- E assim por diante,
Essas somas parciais formam uma sequência:
.
Passo 4
Agora, o que significa a sequência das somas parciais convergir? Significa que, à medida que você soma mais termos, a soma se aproxima cada vez mais de um valor fixo. Matemáticamente, dizemos que a série
converge para um valor
se:
Se esse limite existe e é finito, a série converge. Caso contrário, se a soma não se aproxima de nenhum valor específico, a série diverge.
Resposta
O conceito de sequência estabelece que uma série converge se a sequência das suas somas parciais
tende a um limite finito
quando
vai para o infinito. Se esse limite não existe ou é infinito, a série diverge.
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Considere as funções abaixo e determine, para cada uma delas, quando existir: a. Pontos críticos; b. Pontos de máximos/mínimos, c. Analise a concavidade, d. Esboce o gráfico.
Responda: Quando uma sequência converge e quando ela diverge?
Mostrar que:
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