Considere as funções: C_P = Co * e^(-k * t) e C_MC = Co / (1 + k * t) para representarem a remoção de um mesmo poluente. Admita que os valores de Co e k são os mesmos nas duas equações. O que acontece com a distância (valor absoluto) entre Cp e Cмc à medida de t cresce? Esboce um gráfico representando sua interpretação. (Valor: 1,0 ponto).

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas funções que mostram como a concentração de um poluente diminui ao longo do tempo ( e ). Ambas usam os mesmos valores para e k. Precisamos descobrir o que acontece com a distância entre essas duas concentrações conforme o tempo ( t) aumenta. Para isso, vamos precisar entender conceitos de funções exponenciais e racionais, além de calcular o valor absoluto da diferença entre as duas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as duas funções:
  1. Função Exponencial:
    Essa função mostra uma diminuição rápida no começo, que desacelera conforme o tempo passa.
  2. Função Racional:
    Aqui, a concentração diminui de forma mais lenta e contínua à medida que o tempo aumenta.

Passo 3

Queremos encontrar a distância entre as duas concentrações, ou seja, o valor absoluto da diferença entre e :
Para simplificar, podemos fatorar :

Passo 4

Agora, vamos analisar o comportamento dessa diferença conforme t aumenta:
  • Quando t é pequeno:
    • é próximo de 1 e também é próximo de 1.
    • A diferença é pequena.
  • Conforme t aumenta:
    • diminui mais rapidamente do que .
    • A diferença entre as funções aumenta.
Isso significa que a distância entre e aumenta com o tempo.

Passo 5

Para esboçar o gráfico, imagine duas curvas começando no mesmo ponto quando t = 0:
  • cairá rapidamente no início e depois se estabilizará.
  • cairá de forma mais lenta e constante.
A distância entre elas aumenta à medida que o tempo avança.

Resposta

À medida que o tempo ( t) aumenta, a distância absoluta entre e aumenta, ou seja, cresce com o tempo.

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