Determine a área da superfície:
Encontre a área da faixa cortada do paraboloide pelos planos Resp:
Passo 1
Então, a gente tem que encontrar a área da parte do paraboloide dado por que está entre os planos e . Vamos usar cálculo de superfícies para resolver isso, especificamente integrais duplas em coordenadas polares, já que o paraboloide tem simetria circular.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação do paraboloide para facilitar: . Isso mostra que para cada altura , a seção transversal é um círculo com raio .
Passo 3
A área de uma superfície parametrizada como pode ser calculada usando a fórmula:
Aqui, é a região no plano sobre a qual estamos integrando.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e :
Substituindo na fórmula da área:
Passo 5
Como o paraboloide é simétrico, é mais fácil usar coordenadas polares. Lembre-se que e , e .
Além disso, , então a expressão dentro da raiz fica:
Passo 6
Agora, vamos determinar os limites de integração. Os planos e correspondem a: