Determine a área da superfície:
Encontre a área da faixa cortada do paraboloide x^2 + y^2 - z = 0 pelos planos z = 2 e z = 6 Resp: 49/3 pi

Passo 1

Então, a gente tem que encontrar a área da parte do paraboloide dado por que está entre os planos e . Vamos usar cálculo de superfícies para resolver isso, especificamente integrais duplas em coordenadas polares, já que o paraboloide tem simetria circular.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação do paraboloide para facilitar: . Isso mostra que para cada altura , a seção transversal é um círculo com raio .

Passo 3

A área de uma superfície parametrizada como pode ser calculada usando a fórmula:
Aqui, é a região no plano sobre a qual estamos integrando.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e :
Substituindo na fórmula da área:

Passo 5

Como o paraboloide é simétrico, é mais fácil usar coordenadas polares. Lembre-se que e , e .
Além disso, , então a expressão dentro da raiz fica:

Passo 6

Agora, vamos determinar os limites de integração. Os planos e correspondem a:
Então, varia de a , e varia de a .

Passo 7

Montando a integral em coordenadas polares:

Passo 8

Vamos resolver a integral interna em :
Fazendo a substituição , então , ou seja, .
Quando , .
Quando , .
A integral fica:
Calculando:
Então:

Passo 9

Agora, integrando em :

Resposta

A área da superfície é .

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