Determine a área da superfície:
A parte do paraboloide que está dentro do cilindro . Resp:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a área da parte do paraboloide que está dentro do cilindro . Vamos precisar usar cálculo de integrais múltiplas e coordenadas cilíndricas para facilitar os cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos transformar as equações para coordenadas cilíndricas, onde e . No paraboloide, isso fica:
Então, o paraboloide na coordenadas cilíndricas é .
Passo 3
O cilindro também se transforma facilmente:
Isso significa que estamos interessados na parte do paraboloide onde varia de 0 a 3.
Passo 4
Agora, vamos usar a fórmula para a área da superfície em coordenadas cilíndricas. A área de uma superfície parametrizada por é dada por:
Para o nosso paraboloide , vamos calcular as derivadas parciais.
Passo 5
Calculando as derivadas:
Substituindo na fórmula da área:
Passo 6
Estabelecendo os limites de integração. Como vai de 0 a 3 e vai de 0 a , a integral fica:
Vamos resolver a integral em primeiro.
Passo 7
Para resolver a integral em :
Fazendo uma substituição , então , ou seja, . A integral se torna: