Determine a área da superfície:
A parte do paraboloide x = y^2 + z^2 que está dentro do cilindro y^2 + z^2 = 9. Resp: A = (pi / 6) * (37 * raiz(37) - 1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a área da parte do paraboloide que está dentro do cilindro . Vamos precisar usar cálculo de integrais múltiplas e coordenadas cilíndricas para facilitar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar as equações para coordenadas cilíndricas, onde e . No paraboloide, isso fica:
Então, o paraboloide na coordenadas cilíndricas é .

Passo 3

O cilindro também se transforma facilmente:
Isso significa que estamos interessados na parte do paraboloide onde varia de 0 a 3.

Passo 4

Agora, vamos usar a fórmula para a área da superfície em coordenadas cilíndricas. A área de uma superfície parametrizada por é dada por:
Para o nosso paraboloide , vamos calcular as derivadas parciais.

Passo 5

Calculando as derivadas:
Substituindo na fórmula da área:

Passo 6

Estabelecendo os limites de integração. Como vai de 0 a 3 e vai de 0 a , a integral fica:
Vamos resolver a integral em primeiro.

Passo 7

Para resolver a integral em :
Fazendo uma substituição , então , ou seja, . A integral se torna:
Agora, integrando em :

Resposta

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