Considere as funções F, G: A -> R^3 dadas por F(t) = (t^2, raiz(t - 1), t^3) e G(t) = (t, (t-2)/raiz(t-1), ln(9+t^2)). Determine: O domínio de F e G;

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas funções vetoriais, e , que transformam um número real t em um vetor em . A pergunta quer que a gente descubra para quais valores de t essas funções estão bem definidas, ou seja, qual é o domínio de cada uma delas. Para isso, vamos analisar cada parte das funções e ver onde tudo faz sentido matematicamente.

Passo 2

Vamos começar com a função . Essa função tem três componentes:
  1. Primeira componente ( t^2): Aqui, elevamos t ao quadrado. Isso está definido para qualquer número real, porque o quadrado de qualquer número é sempre um número real positivo.
  2. Segunda componente ( ): Essa é uma raiz quadrada. A raiz quadrada só é definida para números maiores ou iguais a zero. Então, precisamos que o que está dentro da raiz, , seja pelo menos zero:
  3. Terceira componente ( ): Aqui, elevamos t ao cubo. Isso também está definido para qualquer número real, pois o cubo de qualquer número é sempre um número real.

Passo 3

Para a função estar bem definida, todas as suas componentes precisam estar definidas ao mesmo tempo. Vimos que a única restrição vem da segunda componente, que exige que . Portanto, o domínio de F é todos os números reais maiores ou iguais a 1:
í

Passo 4

Agora, vamos analisar a função . Também aqui temos três componentes:
  1. Primeira componente ( t): Simplesmente t. Definido para qualquer número real.
  2. Segunda componente ( ): Aqui, temos uma fração com uma raiz quadrada no denominador. Duas coisas a considerar:
    • O denominador não pode ser zero: .
    • A raiz quadrada precisa estar definida: .
    Juntando as duas condições, temos que t deve ser maior que 1.
  3. Terceira componente ( ): Logaritmo natural. Definido apenas para argumentos positivos:
    Como t^2 é sempre positivo ou zero, sempre será maior que zero, não impondo restrições.

Passo 5

Para a função estar bem definida, todas as suas componentes precisam estar definidas ao mesmo tempo. As únicas restrições vêm da segunda componente, que exige que . Portanto, o domínio de G é todos os números reais maiores que 1:
í

Resposta

O domínio de F é e o domínio de G é .

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