Considere as funções
dadas por
e
. Determine: O domínio de
e
;
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas funções vetoriais,
e
, que transformam um número real
em um vetor em
. A pergunta quer que a gente descubra para quais valores de
essas funções estão bem definidas, ou seja, qual é o domínio de cada uma delas. Para isso, vamos analisar cada parte das funções e ver onde tudo faz sentido matematicamente.
Passo 2
Vamos começar com a função
. Essa função tem três componentes:
-
Primeira componente (
): Aqui, elevamos ao quadrado. Isso está definido para qualquer número real, porque o quadrado de qualquer número é sempre um número real positivo. -
Segunda componente (
): Essa é uma raiz quadrada. A raiz quadrada só é definida para números maiores ou iguais a zero. Então, precisamos que o que está dentro da raiz, , seja pelo menos zero: -
Terceira componente (
): Aqui, elevamos ao cubo. Isso também está definido para qualquer número real, pois o cubo de qualquer número é sempre um número real.
Passo 3
Para a função
estar bem definida, todas as suas componentes precisam estar definidas ao mesmo tempo. Vimos que a única restrição vem da segunda componente, que exige que
. Portanto, o domínio de
é todos os números reais maiores ou iguais a 1:
Passo 4
Agora, vamos analisar a função
. Também aqui temos três componentes:
-
Primeira componente (
): Simplesmente . Definido para qualquer número real. -
Segunda componente (
): Aqui, temos uma fração com uma raiz quadrada no denominador. Duas coisas a considerar: - O denominador não pode ser zero:
. - A raiz quadrada precisa estar definida:
.
Juntando as duas condições, temos quedeve ser maior que 1. - O denominador não pode ser zero:
-
Terceira componente (
): Logaritmo natural. Definido apenas para argumentos positivos: Comoé sempre positivo ou zero, sempre será maior que zero, não impondo restrições.
Passo 5
Para a função
estar bem definida, todas as suas componentes precisam estar definidas ao mesmo tempo. As únicas restrições vêm da segunda componente, que exige que
. Portanto, o domínio de
é todos os números reais maiores que 1:
Resposta
O domínio de
é
e o domínio de
é
.
Exercícios relacionados
Considere as funções
dadas por
e
. Determine: O produto vetorial
.
Considere as funções
dadas por
e
. Determine: A soma
;
Considere as funções
dadas por
e
. Determine: O produto escalar
;
Calcule, caso existam, os seguintes limites: