Considere as funções F, G: A -> R^3 dadas por F(t) = (t^2, raiz(t - 1), t^3) e G(t) = (t, (t-2)/raiz(t-1), ln(9+t^2)). Determine: O produto escalar F(t) . G(t);

Passo 1

Beleza, temos duas funções vetoriais, a e a , que vão de um conjunto para . O que a gente precisa descobrir aqui é o produto escalar dessas duas funções, ou seja, . O produto escalar é uma maneira de multiplicar dois vetores para obter um número real, e é bem útil em várias áreas da matemática e física.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o produto escalar. Se a gente tem dois vetores e , o produto escalar é dado por:
Isso significa que a gente multiplica cada componente correspondente dos vetores e depois soma tudo.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa fórmula às funções que a gente tem:

Passo 4

Vamos multiplicar cada componente correspondente das funções e :
  • Primeira componente:
  • Segunda componente:
    Aqui, o no numerador e denominador se cancelam.
  • Terceira componente:

Passo 5

Agora, vamos somar todas essas partes para encontrar o produto escalar:

Resposta

O produto escalar das funções e é:

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