Considere as funções f e g com domínio e contradomínio em R. Ambas são diferenciáveis em todo o domínio. Os gráficos de f e g se intersectam perpendicularmente no ponto -1,3. A reta tangente ao gráfico de f nesse ponto tem equação:
y = 3 + 1/2 (x + 1)
Quanto vale g'(-1) ?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a pergunta tá pedindo. A gente tem duas funções, e , que são diferenciáveis em todo lugar nos números reais. Os gráficos delas se cruzam no ponto de forma que as retas tangentes nesse ponto são perpendiculares. Já sabemos a equação da reta tangente de nesse ponto:
Então, precisamos descobrir qual é a derivada de em , ou seja, .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada de uma função em um ponto nos dá a inclinação da reta tangente no gráfico dessa função nesse ponto. Na equação da reta tangente de , o coeficiente de é , então:
Isso significa que a inclinação da reta tangente de no ponto é .

Passo 3

Agora, como os gráficos de e se cruzam perpendicularmente nesse ponto, as retas tangentes também são perpendiculares. Sabemos que duas retas são perpendiculares se o produto de suas inclinações for igual a . Ou seja:

Passo 4

Já sabemos que . Vamos substituir na equação:
Agora, é só resolver para .

Passo 5

Multiplicando ambos os lados da equação por para isolar :

Resposta

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Em cada um dos itens seguintes são indicados os valores de x0, f(x0), f'(x0), para alguma função f: R -> R. Obtenha a equação da reta tangente ao gráfico de f em (x0, f(x0)).
x0 = 0, f(x0) = 5 e f'(x0) = raiz(2).
Calcule o Valor Numérico das expressões algébricas:
e) 3^(x+x), para x = 2
Resolva os sistemas de Equações pelo método da substituição: { y = 4 - 2x , 5x - 2y = 1 }
Determine constantes a e b para que a função
f(x) = { x^3, se x <= 1; a*x^2 + b, se x > 1 }
seja derivável.