Considere as funções
e
com domínio e contradomínio em
. Ambas são diferenciáveis em todo o domínio. Os gráficos de
e
se intersectam perpendicularmente no ponto
. A reta tangente ao gráfico de
nesse ponto tem equação:
Quanto vale
?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a pergunta tá pedindo. A gente tem duas funções,
e
, que são diferenciáveis em todo lugar nos números reais. Os gráficos delas se cruzam no ponto
de forma que as retas tangentes nesse ponto são perpendiculares. Já sabemos a equação da reta tangente de
nesse ponto:
Então, precisamos descobrir qual é a derivada de
em
, ou seja,
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada de uma função em um ponto nos dá a inclinação da reta tangente no gráfico dessa função nesse ponto. Na equação da reta tangente de
, o coeficiente de
é
, então:
Isso significa que a inclinação da reta tangente de
no ponto
é
.
Passo 3
Agora, como os gráficos de
e
se cruzam perpendicularmente nesse ponto, as retas tangentes também são perpendiculares. Sabemos que duas retas são perpendiculares se o produto de suas inclinações for igual a
. Ou seja:
Passo 4
Já sabemos que
. Vamos substituir na equação:
Agora, é só resolver para
.
Passo 5
Multiplicando ambos os lados da equação por
para isolar
:
Resposta
Exercícios relacionados
Em cada um dos itens seguintes são indicados os valores de
, para alguma função
. Obtenha a equação da reta tangente ao gráfico de
em
.
e
.
Calcule o Valor Numérico das expressões algébricas:
e) , para
e)
Resolva os sistemas de Equações pelo método da substituição:
Determine constantes
e
para que a função
seja derivável.