Determine constantes
e
para que a função
seja derivável.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo onde precisamos encontrar as constantes
e
para que a função
seja derivável. Isso envolve conceitos de continuidade e derivabilidade de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos garantir que a função seja contínua em
. Isso significa que o limite de
quando
se aproxima de 1 pela esquerda deve ser igual ao limite quando
se aproxima de 1 pela direita, e ambos devem ser iguais ao valor de
.
Para
,
. Então,
.
Para
,
. O limite quando
se aproxima de 1 por essa parte é
.
Para continuidade:
Passo 3
Agora, vamos garantir que a função seja derivável em
. Para isso, as derivadas das duas partes da função devem ser iguais em
.
Primeiro, calculamos a derivada de cada parte:
- Para
, , então . - Para
, , então .
A derivada pela esquerda em
é
.
A derivada pela direita em
é
.
Para que as derivadas sejam iguais:
Passo 4
Agora, vamos resolver as equações que montamos:
- Da continuidade:
- Da derivabilidade:
Primeiro, resolvemos para
na segunda equação:
Agora, substituímos
na primeira equação para encontrar
:
Resposta
Portanto, as constantes são
e
.
Exercícios relacionados
Resolva os sistemas de Equações pelo método da substituição:
Considere as funções
e
com domínio e contradomínio em
. Ambas são diferenciáveis em todo o domínio. Os gráficos de
e
se intersectam perpendicularmente no ponto
. A reta tangente ao gráfico de
nesse ponto tem equação:
Quanto vale
?
Derive cada função dos exercícios a seguir
Derive as seguintes funções, usando apenas as propriedades básicas de derivação.