Determine constantes a e b para que a função
f(x) = { x^3, se x <= 1; a*x^2 + b, se x > 1 }
seja derivável.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo onde precisamos encontrar as constantes e para que a função
seja derivável. Isso envolve conceitos de continuidade e derivabilidade de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que a função seja contínua em . Isso significa que o limite de quando se aproxima de 1 pela esquerda deve ser igual ao limite quando se aproxima de 1 pela direita, e ambos devem ser iguais ao valor de .
Para , . Então, .
Para , . O limite quando se aproxima de 1 por essa parte é .
Para continuidade:

Passo 3

Agora, vamos garantir que a função seja derivável em . Para isso, as derivadas das duas partes da função devem ser iguais em .
Primeiro, calculamos a derivada de cada parte:
  • Para , , então .
  • Para , , então .
A derivada pela esquerda em é .
A derivada pela direita em é .
Para que as derivadas sejam iguais:

Passo 4

Agora, vamos resolver as equações que montamos:
  1. Da continuidade:
  2. Da derivabilidade:
Primeiro, resolvemos para na segunda equação:
Agora, substituímos na primeira equação para encontrar :

Resposta

Portanto, as constantes são e .

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