Seja f: R R a função definida por f(x)=ll-x+1, & se x<0 cos x, & se 0 <= x <= pi -(x-pi)^2-1, & se x>pi.
A função f é injetora? Justifique sua resposta.

Passo 1

Vamos analisar a função f(x) = -x + 1, & se x < 0 cos x, & se 0 <= x <= pi -(x - pi)^2 - 1, & se x > pi definida por:
O objetivo é verificar se essa função é injetora. Para isso, precisamos entender o que é uma função injetora e analisar cada parte da função para ver se ela satisfaz essa propriedade.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser injetora. Uma função é injetora se, para todo e no domínio, implica que . Ou seja, cada valor de saída corresponde a um único valor de entrada.

Passo 3

Agora, vamos analisar cada trecho da função :
  1. Para : A função é . Essa é uma função linear com inclinação negativa, o que significa que é estritamente crescente ou decrescente. Funções lineares dessa forma são injetoras porque não produzem o mesmo valor de saída para entradas diferentes.
  2. Para : A função é . Sabemos que o cosseno é uma função que oscila entre -1 e 1 e não é estritamente crescente nem decrescente em todo o seu domínio. Especificamente, entre e , a função cosseno começa em 1, desce até -1 e retorna a 1, o que significa que há valores diferentes de que produzem o mesmo . Isso indica que essa parte da função não é injetora.
  3. Para : A função é . Essa é uma função quadrática invertida, que tem um único valor máximo e, como é uma parábola, cada valor de saída é atingido por exatamente um valor de entrada após o vértice. Portanto, essa parte da função é injetora.

Passo 4

Mesmo que as partes individuais da função sejam injetoras, precisamos verificar se a função completa é injetora. Como já identificamos que a parte onde não é injetora, isso já é suficiente para concluir que a função não é injetora em todo o seu domínio.

Resposta

Não, a função não é injetora, pois na parte , a função cosseno assume o mesmo valor para diferentes , violando a condição de injetividade.

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