Seja a função definida por .
A função f é injetora? Justifique sua resposta.
Passo 1
Vamos analisar a função f(x) = -x + 1, & se x < 0 cos x, & se 0 <= x <= pi -(x - pi)^2 - 1, & se x > pi definida por:
O objetivo é verificar se essa função é injetora. Para isso, precisamos entender o que é uma função injetora e analisar cada parte da função para ver se ela satisfaz essa propriedade.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser injetora. Uma função é injetora se, para todo e no domínio, implica que . Ou seja, cada valor de saída corresponde a um único valor de entrada.
Passo 3
Agora, vamos analisar cada trecho da função :
Para : A função é . Essa é uma função linear com inclinação negativa, o que significa que é estritamente crescente ou decrescente. Funções lineares dessa forma são injetoras porque não produzem o mesmo valor de saída para entradas diferentes.
Para : A função é . Sabemos que o cosseno é uma função que oscila entre -1 e 1 e não é estritamente crescente nem decrescente em todo o seu domínio. Especificamente, entre e , a função cosseno começa em 1, desce até -1 e retorna a 1, o que significa que há valores diferentes de que produzem o mesmo . Isso indica que essa parte da função não é injetora.
Para : A função é . Essa é uma função quadrática invertida, que tem um único valor máximo e, como é uma parábola, cada valor de saída é atingido por exatamente um valor de entrada após o vértice. Portanto, essa parte da função é injetora.
Passo 4
Mesmo que as partes individuais da função sejam injetoras, precisamos verificar se a função completa é injetora. Como já identificamos que a parte onde não é injetora, isso já é suficiente para concluir que a função não é injetora em todo o seu domínio.
Resposta
Não, a função não é injetora, pois na parte , a função cosseno assume o mesmo valor para diferentes , violando a condição de injetividade.